幸存者实验基金

系列短文的专著《股市幸存者如是说》 已经出版

股市幸存者如是说

已经出版的 《沪吉诃德和深桑丘--戏说中国股市二十多年》

《漫谈投资组合的几何增值理论》更新版

序言

这个系列短文大概是1997年开始写的。因为我的专著《投资组合的熵理论和信息价值--兼析股票期货等风险控制》(中国科技大学出版社1997年出版)数学公式太多,不够通俗,比如“熵”(表示几何平均)就令许多人费解。于是我陆续写了几篇通俗短文。短文先是让一个证券杂志(不久关闭了)连载,后来又改编了一些在《期货导报》上连载。 再后来,无数网站都在转载。见Gooogle搜索结果。现在,我把两个版本合并成11篇,增加一片关于期权的文章, 一共12篇,构成《上篇》或《理论篇》。然后我将结合我这些年的投资经历,续写《下篇》,即《实战篇》--用战例说明理论应用。《下篇》将边写边上载。以前的公式中指数和下标没有编辑好,现在改正了。在此致歉。

文章本该有版权问题。不过我并不介意别人转载。我是国家给钱上大学的(77级),我总是觉得,我的文章能让更多的中国人受益,我就更对得起国家的培养。为此我还应该感谢转载的网站。

这几年我很幸运,在大家亏损累累的情况下,我管理的试验基金依然每年增值(参看实验基金业绩),由此可见理论的威力。当我看到中航油在国际期权期货市场惨败的时候,我感到很难受。这同时我也在做石油期权期货,我的1万多美元增值了4-5倍,可是中航油亏了5亿美元。我觉得我的盈利实在没有多大意义, 还抵不上中航油亏损的零头的零头。希望中国人以后在国际市场少亏,这也是我充实本系列短文的主要原因。

  (写于2005)

   补注: 2009年6月又添加一些内容。清华大学出版社最近将出版《股市幸存者如是说》, 它包括本短篇系列,以及其他一些内容。

 

上篇  

1 从掷硬币打赌看投资组合问题
2 马科维茨理论及其缺陷
3 几何级数增值的魅力
4 掷硬币打赌问题的数学解答
5 股票和国债的投资组合优化
6 怎样战胜小神仙
7 鸡蛋和篮子问题
8 反相关组合对几何增值的影响
9 期货市场存在的合理性
10
期货下注比例多大为好
11 从巴费特的一笔生意看保险公司如何量力而行
12 期权的魅力和陷阱
13 港股窝轮和牛熊证的异同
14 神仙和强盗选择题
15 从中科创业看风险测度VAR的误导

 

(下篇每篇一页)


2006年3月更新,计11篇,包括到处转载的9篇和帮助文件中的两篇 下载幸存者帮助文件survivalhlp.zip 0.28M

 

从掷硬币打赌看投资组合问题

--漫谈投资组合的几何增值理论 (1)

 

什么是投资组合?首先我们从掷硬币打赌谈起。

假设有一种可以不断重复的投资或打赌,其收益由掷硬币确定,硬币两面出现的可能性相同; A面你投一亏一,出B面你投一赚二;假设你开始只有100元,输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?

我们可以象小孩子玩登山棋那样,几个人下不同的赌注,然后重复掷硬币,看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。可是只要有一次你输了,你就变成穷光蛋,并且永远失去发财机会。你可能每次下注10 元。但是,如果连输10次,你就完了。再说,如果你已经是万元户了,下10元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注,这也许是个不错的主意。首先,你永远不会亏完假设下注的资金可以无限小; 第二,长此以往,赢亏的次数大致相等时,你总是赚的。假设平均两次,你输一次赢一次,则你的资金会变为原来的(1+0.2) ×(1-0.1)=1.08倍。可是,以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了,太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明,每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注,你变为百万富翁的平均速度将最快。

几个不同下注比例带来的资金变化如图 1所示(掷币结果分别是A, B, A, B, ...)。实验表明,张大胆每次投100%,嬴时嬴得多,可亏时亏得惨,一次亏损就永远被淘汰出局。李糊涂每次下50%,收益大起大落,到头来白忙。王保守每次下10%,稳赚但少赚;“你”每次下25%,长期看结果最好。

1 资金增值随几种不同投资比例的变化

 

前面的打赌中,硬币只有一个。 如果同时有两个、三个或更多,各个硬币盈亏幅度不同,两面出现的概率(频率或可能性)也可能不同;怎样确定在不同硬币上的最优下注比例?如果不同硬币出现AB面是不同程度相关的(比如一个出A面,另一个十有八九相同--正相关,或相反--反相关),又如何确定最优下注比例?股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样,收益是不确定的且相互关联的。 如何确定不同证券或资产上的投资比例,以使资金稳定快速增长并控制投资风险,这就是投资组合理论要解决的问题。

投资组合也就是英文说的 portfolio。当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨(H. Markowitz)理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著《广义信息论》,中国科技大学出版社,1993)和自己的投资实践出发,得到了投资组合的几何增值理论,或者叫熵(shang)理论(因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准), 并完成了专著《投资组合的熵理论和信息价值--兼析股票期货等风险控制》(中国科技大学出版社,1997)。现在笔者知道美国的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用几何平均产出比--即1+几何平均收益或平均复利--作为优化证券组合的准则;后来T. E. Cover等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 最近有人提出也是信息论研究者Kelly曾提出过这一准则。不同的是,笔者的研究更注重应用。具体说来:1)结合打赌模型讨论了分散和相关问题;提供了各种复杂情况下(考虑手续费, 卖空,透支,银行利率等)的最优投资比例公式;2)提出一些适用结论:比如分散投资极限定理,投资容量,新的风险测度.

 

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马科维茨理论及其缺陷

--漫谈投资组合的几何增值理论(2)

 

1952年,马科维茨发表了《有家证券的选择:有效的转移》。这篇开创性的论文导致了一个新理论--投资组合理论--的诞生。1990年,瑞典皇家科学院将诺贝尔经济学奖授予了H. 马科维茨,W. 夏普(Shape) 和W. 米勒(Miller), 以表彰它们在投资组合和证券市场理论上的贡献。

马科维茨用收益的期望 E和标准方差d表示一种证券的投资价值和风险。期望收益也就是算术平均收益。收益的标准方差d反映了收益的不确定性。比如对于上一节谈到的掷硬币打赌(亏时亏一倍,嬴时嬴两倍),用全部资金下注时,

E=P1 r1+P2 r2 =0.5×(-1)+0.5×2=0.5

d=[P1( r1-E)2+P2( r2-E)2]0. 5=[0.5(-1-0.5)2+0.5(2-0.5)2]0.5=1.5

 

上式中 P1=0.5r1= -1是亏钱的概率和幅度,P2=0.5r2=2是嬴钱的概率和幅度。根据马科维茨理论,期望越大越好,而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资风险。至于两种证券或两种组合,一个比另一个期望收益大,标准方差也大,那么选择哪一个好呢?马科维茨理论认为这没有客观标准。有人不在乎风险而只希望期望收益越大越好,而有人为了小一些的风险而情愿要低一些的期望收益。

马科维茨证明了,通过分散投资互不相关或反相关的证券,可以在不降低期望收益的情况下,减小总的投资的标准方差 (即风险). 比如同时用两个硬币打赌,嬴亏幅度同样,每种证券下注50%时, 收益的可能性有三种:1)两边亏,亏100%,概率是1/4=0.25; 2)一亏一嬴,嬴50, 概率是1/2=0.5 ; 3)两边嬴,嬴200%,概率是1/4=0.25. 这时期望收益E=0.5不变,标准方差d由1.5减小为

d=[0.25(-1-0.5)2+0.5(0.5-0.5)2+0.25(2-0.5)]0.5=1.06

 

如果两个硬币的嬴亏总是反相关的,比如一个出 A面,另一个必定出B面,反之亦然;则期望收益不变,标准方差为0--完全无风险。

马科维茨理论的成就是巨大的,但是其缺陷也是不可忽视的。缺陷之一是:不认为有客观的最优投资比例,或者说并不提供使资金增值最快的投资比例 (当然也就不能解决前面的掷硬币打赌问题); 缺陷之二是:标准偏差并不能很好反应风险。下面我们举例说明。

例:两种证券当前价格皆是1元,证券I(象是期权)未来价格可能是0元和2元,概率分别为1/4和3/4(参看图1,其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券II(象是可转换债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886,但是收益的概率分布以0.5为中心(产出比以1.5为中心,)对称反转了一下.两者投资价值分析如表1所示(这里忽略银行利息和交易手续费)。

 

1 期望和标准方差相同但风险不同的两个证券

 

表 1 期望和标准方差相同的两种证券的投资价值分析

 

期望

标准方差

下100%时平均复利

优化比例%

优化后平均复利比例

证券 I

0.5

0.886

-100%

50

15%

证券 II

0.5

0.886

32%

100

32%

 

表中最优投资比例 -100%意味着:如果可以贷款或透支,投更多更好。按Markowitz 理论,A和B投资价值相同,而按常识和投资组合的几何增值理论,B远优于A 对于存在大比例亏损可能的投资,比如期权、期货、放贷(可能收不回本金)、卫星发射和地震保险(风险极大而标准方差并不大),马科维茨理论的缺陷尤为明显。

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几何级数增值的魅力

--漫谈投资组合的几何增值理论(3)

 

1988-1989年,日本股市从21564点上涨了80%,到达38921点;然后开始大跌,19928月跌到14194点,跌幅达63%。虽然80%大于63%,算术平均大于0,可是总的来说是跌的,跌了约1/3,因为累积产出比是 (1+0.8)(1-0.63)=0.666,累积收益是0.666-1= -0.334-33.4%.

炒过股票的人都知道,如果你总是将所有的资金买入股票,则先赚 50% 再亏50%; 或者先亏后赚,虽然算术平均收益是0,可是你的资金会变少(变成0.5×1.5=0.75)。可见算术平均收益不能反映实际增值情况。

能反映实际增值的收益是什么呢?是几何平均收益。设每一元资金投资 N年后变为M元,则累计产出比是M/1=M 累计产出比的N次开方M1/N被称为几何平均产出比, 我们记为Rg, 即Rg=M1/N 投资的平均复利又叫几何平均收益,我们记为rg,则有rg=Rg-1. 可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。因为

N年累积产出比M=RgN =(1+rg)N.

 

投资组合的几何增值理论 (或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准,根据这一标准,使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。

稳定的几何增长具有无比的魅力。几何平均收益的微小优势,在长期累计后可能导致惊人的成功。下表显示了几何平均收益对 20年累积产出比的影响。

 

1 几何平均收益对20年累积产出比的影响 

几何平均收益

10% 

15%  

20%

23.8%

20年产出比

6.7

16.4

38.3

71.5

其中 23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司32年里的几何平均收益。在过去的32年里,伯克希尔公司每股资产从19美元增长到19011美元,算术平均年收益大约是1000/32=3125%,可是几何平均年收益只有23.8%(税后). 美国的基金管理大师彼得·林奇之所以有成功,是因为他十年里使基金的几何平均收益达到30%。据说李家诚的几何平均收益是28%,索罗斯的量子基金几何平均收益也是28%(早期是35%)。有人做过计算说明,虽然两百年前美国政府从印地安人手里以极便宜的价格买了大片土地,但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益,则利滚利后,印地安人现在将极其富有,足以买回更大面积的土地。可见稳定的几何平均收益的威力。

有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入;有人炒期货还要透支。 中国人在期货市场上破产的比例极大,原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。

许多股民类似,他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧;而对收益较为稳定的年收益达 20%-30%的投资(比如认购新股)不以为然。这不能不说是中国股市不成熟的表现。

笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。只要他们有耐心,采取稳健的策略 (比如每年认购新股,如果认购新股效益不变的话),一、二十年后成为百万富翁将极其容易。当然,对于包括笔者在内的许多人--既不年轻又有生活压力,要成为百万富翁,我们当采取更加进取的投资策略,即选择多种投资方式,优化投资组合,赢得更高的几何平均收益。

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掷硬币打赌问题的数学解答

--漫谈投资组合的几何增值理论(4)

 

掷硬币打赌问题是:有一种可以不断重复的投资或打赌,其收益由掷硬币确定,硬币两面出现的可能性相同; A面你投一亏一,出B面你投一赚二;假设你开始只有100元,输了没法再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?

不知读者是否记得中学学过的抛物线公式 y=ax2+bxc。抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹,它有一个最高点, 当水平距离x= - b/(2a) 时,高度y达最大。下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。

对于上面的掷硬币打赌,几何平均产出比 Rg随下注比例q的变化是

要使 Rg达最大,只需使上式右边括号中的内容达最大。根据中学数学知识,q= -1/[2×(-2)]=1/4=0.25=25%时,括号中的内容和几何平均收益Rg达最大。这就是说,对于上面的掷硬币打赌,25%是最优投资比例。

1 几何平均收益rg和算术平均收益raq的变化

 

对于上面的掷硬币打赌,算术平均收益 ra和几何平均收益rg随下注比例q的变化如图1所示。容易看出,算术平均收益rg和投资比例q成正比关系;而几何平均收益不是,q太大反而不好,如果q>0.5则从长远看必然亏损。

上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同,即 P1=P2=0.5;嬴亏幅度是给定 的(-12)。 如果硬币是弯的,一面出现的可能性大,另一面出现的可能性小, P1P2皆不等于0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为r1小于0和r2大于0), 这时几何平均收益等于

则这时最优比例如何求法? 现在我们用 H表示资金翻一番数目, 如果Rg=2, 则H=1; 如果Rg不等于2? 我们可以用log2Rg表示翻番数,

H=log2Rg=P1log2(1+r1q)+P2log2(1+r2q)

这一公式很象通信理论中的熵公式,所以我们把翻番数 H叫做增值熵。这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。这时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。令Hq的导数等于0可以求出最优投资比例是

q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)=(P1r1+P2r2)/|r1r2|.

 

注意上式分子括号中正好是算术平均收益。有了这一公式,我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。比如重复掷骰子打赌,可能出现的数字是 16;出1,2亏一倍,出3,45,6嬴一倍。P1=1/3, P2=2/3, r1= -1, r2=1。于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。读者不妨通过反复掷硬币或掷骰子检验上面结论。

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股票和国债的投资组合优化

--漫谈投资组合的几何增值理论(5)

 

上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式:

q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2).

 

有人会问:剩下的资金不投资不是浪费掉了?回答是:剩下的资金如能产生稳定收益更好,即使不能产生,那也不是浪费。就象打仗要有后备军一样,风险投资也要有后备军,它能在前次投资亏损后发挥更大效用。可幸的是,目前深圳上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖,使得股民可以用“后备军”购买国债,同时得到稳定的国债收益。

假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式,股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟,即已知国债收益率 r0和股票收益的概率预测P1,r1, P2, r2。如何优化股票和国债的投资比例?这时资金的平均翻番数或增值熵变为

H=log2Rg=P1log2(1+r0q0+r1q)+P2log2(1+r0q0+r2q)

其中 q<sub>0</sub>1-q, 是投资国债的比例。令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例:

q*= -(P1d1+P2d2)R0/(d1d2).

其中 R0=1+r0, 是投资国债的产出比;d1=r1- r0d2=r2-r0是超出国债收益的收益。国债收益也可以说是市场平均收益,我们可以说d1d2是超常收益。因为国债利率反映了资金成本,我们也说上式是考虑资金成本的优化公式。

例:可选择的投资是股票和国债,投资人每年年终调整投资比例 , 股市每年的涨跌幅由掷硬币确定,收益预测P1=P2=0.5, r1= -0.3, r2=0.8,一年期国债收益率是r0=0.1; 求股票最优投资比例q*(忽略手续费)

:已知R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-0.1= -0.4, d2=0.8-0.1=0.7; 由上面公式可以求出q*=0.59.

故最优的股票和国债投资比例是 0.59:0.41

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1 三种投资方式资金增值比较

我们按三种不同方式重复投资,资金增值情况如图 1所示。其中假设有十个年头,每年收益预测相同; 按优化的投资比例投资,则投资者每年年终都要转移一下资金。如果上一轮股票赚了就减少股票仓位,否则就增仓,保持适当的持股比例——这是取胜的关键。由图可见,全投股票或全投国债的效果显然不如优化的组合。

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怎样战胜小神仙

--漫谈投资组合的几何增值理论(6)

 

赌博和投资并没有严格的分界线。首先,两者收益都是不确定的;其次,同样的投资工具,比如期货,你可以按照投资的方式来做,也可以按照赌博的方式来做——不做任何分析,孤注一掷;同样的赌博工具,比如赌马,你可以象通常人们所做的那样去碰运气,也可以象投资高科技产业那样去投资——基于细致的分析按恰当的比例下注。

但是赌博和投资也有显然不同的地方:投资要求期望收益一定大于 0,而赌博不要求.。比如通常人们买彩票、赌马、赌大小… 的期望收益就小于0。支撑投资的是关于未来收益的分析和预测,而支撑赌博的是侥幸获胜心理。投资要求回避风险,而赌博是找风险。一种投资工具可能使每个投资者获益,而赌博工具不可能。

投资也是一种博弈——对手是“市场先生”。但是评价投资和评价通常的博弈比如下围棋不同。下围棋赢一目空和赢一百目空是等价的,而投资赚钱是越多越好。由于评价标准不同,策略也不同。

对于赌大小或赌红黑那样的赌博,很多人推荐这样一种策略:首先下一元(或 1%),如果输了,赌注加倍;如果赢了,从头开始再下一元。理由是只要有一次赢了,你就可以扳回前面的全部损失,反过来成为赢家——赢一元;有人还认为它是一种不错的期货投资策略。但是从几何增值理论看,这是一种糟透了的策略。因为这样做虽然胜率很高,但是赢时赢得少,输时输得多——可能倾家荡产,期望收益为0不变,而风险无限大。不过,这种策略对于下围棋等博弈倒是很合适,因为下围棋重要的是输赢,而不在于输赢多少目。围棋手在实空不如对手的情况下扩大战争或放出胜负手就是采用这一策略。

电影《生死赌门》上面有个小神仙,特别善于心理战。赌博方式是猜宝,那里的宝是两个分别涂有红黑二色的圆块块。小神仙在密室里把其中之一放在宝盒中,然后让人拿出宝盒供大家下注,下中颜色者赢,否则输。猜家总是根据前面的颜色预测后面的颜色,如果出宝者出的颜色顺序和猜家预测的不同,猜家就会输。有一次小神仙一连出十几个黑,令众多赌徒大跌眼镜。后来赌场老板为鼓励其他赌博高手向小神仙挑战,给予优惠赔率:挑战者输了一赔一,赢了一赔五。结果小神仙还是一再赢了。

现实中可能有这样赢钱的赌坊吗?我说可能。假设每赌三次小神仙赢两次,赌徒每次拿出自己的一半资金下注,那么赌徒的几何平均产出比是 [0.52×3.5]1/3<1, 重复赌下去,赌徒必输无疑。很多赌徒没有足够的耐心,输到一定程度就孤注一掷,那样亏光更快。

怎样战胜小神仙呢?首先要有恰当的比例。假设嬴亏概率分别是1/3和2/3,幅度是-1 和5,根据熵理论得出的最优投资比例是:

q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)=- [(2/3)×(-1)+(1/3)×5]/(-1×5)=0.2

即每次拿出你的 20%资金下注,多次重复,必能取胜。

另外,你可以通过掷硬币确定下哪一种颜色,由此避免心理战。小神仙再聪明也难猜中掷硬币结果,那样你的胜率当接近 1/2

如果你没有太好的运气,赌场老板不是一赔五,而是一赔二,即使你通过掷硬币避免心理战的不利,你也要注意控制下注比例( 25%最优,超过50%就会输钱)。

由前面分析可以看出,赌场老板赢钱的一个重要原因是:参赌者没有足够的耐心,或赌注下限太高,使得赌友很容易输光自己的资金,失去扳本的机会;而赌场老板的“战斗寿命”要长得多,因为资金实力更大,也因为面对不同的赌友老板分散了投资,因而不容易输光。另外,许多赌博方式都有庄家占先的特例,比如掷 3只骰子赌大小,只要庄家掷出三个“1”或三个一样,则不管下注者掷出什么,庄家通吃,这使得庄家的期望收益大于0,而下注者的期望收益小于0。从统计的角度看,赌得越久,庄家胜率越大。

有部美国电影叫《赌场风云》,其中讲道,如果游客嬴了大钱,老板就会想方设法缠住他再赌,使用的办法小到让妓女去挽留,大到让飞机晚点。没有耐心的赢家往往很快会变为输家。

上面讲的还是比较规范的赌场,有的赌场在赌具上搞鬼,或者使用暴力挽回损失,那么赌徒就更没有赢钱的希望。想通过赌博赚钱往往是“出去减羊毛,自己的脑瓜被剃成瓢”。但是由于人的冒险本性和总希望有意外惊喜的本性,使得赌博可以作为一种娱乐。注意,赌注小点再小点,不然娱乐就会变成痛苦。

股民跟庄和赌徒企图战胜小神仙类似。如果预计的盈利幅度不是远大于亏损幅度,则最好避而远之; 即使盈利可能性和幅度较大,也应以恰当的比例下注。     

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鸡蛋和篮子问题

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(7)

 

俗话说,不要把鸡蛋放在一个篮子里。下面我们将说明这是有数学道理的。

前面我们假设只有一种投资(证券或项目),如果有两种三种呢?  是否有最优的在各证券上的投资比例? ! 现在我们假设有两种可选择期货,它们的收益由两个硬币的投掷结果确定(A面你投一亏一,出B面你投一赚二)。这时如何确定现金比例和各期货上的投资比例(假设两种期货上的投资比例相同〕,使得重复投资后累积收益最大?

这时有三种可能的盈亏:

1) 同时出A面,亏损是下注资金的1倍,概率是1/4;

2)AB, 盈利是下注资金的0.5倍,概率是1/2;

3)同时出A面,盈利是下注资金的2倍,概率也是1/4

上面问题和下面问题是等价的:假设用两个足够大的篮子贩运鸡蛋,运到目的地可赢利200%(增值为原来的 3),每个篮子在路上被打翻从而损失100%的概率是0.5,两个篮子是否被打翻是相互无关的,每个篮子各装价值多少资金的鸡蛋,可使多次贩运后,资金平均增值最快?

掷硬币实验和理论研究表明,各投总资金的 23%可使长期累积增值最快(参看表1)

 

1 两种期货时,不同下注比例的增值比较

实验

序号

掷币

结果

张大胆各下50

李糊涂各下25

你各下23

王保守各下12.5

 

0

 

100

100

100

100

1

A,B

150

125

123

112.5

2

A,A

0

62.5

66.42

84.38

 

3

B,A

0

78.13

81.7

97.46

 

4

B,B

0

156.26

156.86

155.5

 

5

B,A

0

195.32

192.94

174.94

 

6

B,B

0

390.64

370.44

262.41

 

7

A,B

0

488.3

455.64

295.21

 

8

A,A

0

244.15

246.05

221.4

 

...

...

0

...

...

...

 

16

A,A

0

596.09

605.41

490.18

 

几何平均收益

 

-100%

11.8%

11.9%

11.7%

 

 假如有三个、四个篮子,甚至无穷多个篮子呢,理论研究表明有表2和图1结果。

 

  2 优化比例和几何平均收益随篮子数目变化

篮子数目

1

2

3

4

N®¥

最优投资比例 (%)

1´25

2´23

3´21.1

4´19.2

N ´100/N

几何平均收益 (%)

6.07

11.91

17.45

22.58

50

可见,篮子越多,资金越分散,资金平均增值越快 . 当然,实际投资中,过于分散会增加信息和操作成本,适当地将鸡蛋分散放在五、六个篮子里, 投资组合的效果就相当不错了。  

 

图1 投资比例和收益随篮子数目变化(N®¥)

 有人不喜欢分散,认为集中力量分析并投资一个品种更好。而事实往往是:不管你付出多少精力,你对某个期货品种的了解和认识永远有限;盈利往往在于机会,而不在于能力,就象当官一样。分散实际上就是更充分利用机会。

另一方面,不恰当地分散投资也是要不得的。 是否分散要看:1)产出比是否随投资规模增大而减小,如果增大, 比如对于对于存在规模效益的行业,分散往往不好;2)投资的收益是否是不确定的,如果确定,则无必要分散;3)不同投资收益是否是不相关甚至反相关的, 如果相关, 则分散无效。比如同时做多不同月份的期铜和只做单个月份的期铜没有很大区别。

最近我看到一个澳大利亚人写的书《巴菲特和索罗斯的共同特点》,其中说他们都不信分散, 如果机会好, 有多少投多少。我以为这是极其不符责任的说法。巴菲特投资的股票通常7到8种, 而我这个讲究分散的人分散程度也不过如此。索罗斯打击港股的时候,首先大量买进公用事业股,以便攻击失利时弥补损失。他不但分散,还利用反相关分散。要说机会好有多少投多少, 那要看机会是不是不确定的。 如果确定,比如当年的鞍钢转债--换股成本居然比股价低接近10%,全部投入不妨。最坏也不过就是等候到期拿回本利。如果是集中投资一般股票或期货,这是极其冒险的。我的一个朋友当年就是因为全部投入长虹而栽了大跟头。

另外值得注意的是:同一个市场上的股票中短期往往同涨同跌。分散往往是无效的。最优效的分散是投资在反相关的品种上。

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反相关组合对几何增值的影响

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(8)

 

在前面的鸡蛋和篮子的问题讨论中,我们假设几个篮子被打翻是相互独立的,如果几个篮子被打翻是相关的会怎么样呢 ? 显然,如果两个篮子总是一道被打翻,那么,将鸡蛋放两个篮子里和放一个篮子里是一样的,并不能降低风险。同样的道理,分散做多几种同涨同跌的期货和只做多一种期货,风险是同样的。假设共有两个篮子,如果只有而且总有一个篮子被打翻(反相关),则你可以全部投入资金(各投50%),这时每次收益稳定不变,几何平均收益等于算术平均收益:

(0.5 ×(-1)+0.5×2)×100%=50%

组合效果最好。

我们用相关系数c(-11之间变化)表示两种投资收益的相关性,c=-1表示两者盈亏总是相反,c=0表示两者盈亏互不相关; c=1表示两者盈亏总是同步。

我们用一对硬币的两面表示投资一个期货品种的收益,同时是A面你亏200%,同时是B面你赚300%,一AB你赚50%。现在有两个期货品种I和II,它们的价格由两对硬币的投掷结果确定(两对可能共用或反用一个或两个硬币,从而使收益相关性变化)。全部投入资金(各50%)和按优化比例投入资金时,几何平均收益随相关性变化如表1所示。

表中e1e2e3e4是等可能取值为01的随机变量; r1= -2 r2=1.5e­1e1的非( 两者取值相反)e_2同理;  rIrII是两个品种的投资收益,比例qq* 是在每种证券上的投资比例和优化的投资比例。

           

1 相关系数对几何平均收益的影响及优化结果

硬币共有

情况

相关

系数c

相关收益确定

rI=r1+(e1+e2)r2

q=0.5时的几何平均收益

优化的几何平均收益

优化比例q*

共用一对

1

rII=r1

-100

8.05

4.09

共用一个

0.5

rII=r1+(e1+e3)r2

-100

10.74

5.48

不共用

0

rII=r1+(e3+e4)r2

-100

15.88

8.01

反用一个

-0.5

rII=r1+(e_1+e4)r2

11.5

34.24

17.81

反用两个

-1

rII=r1+(e_1+e_2)r2

50

50

50

可见,相关系数越大,组合效果越差; 相关系数为1时,等价于全部投资于一种证券,不赚反亏。相关系数越小,组合效果越好。相关系数为 -1时效果最好,这时几何平均收益等于算术平均收益。

手持现货抛空期货就是利用反相关品种投资。在期货市场上买近卖远类似。我们也可以同时买卖不同品种的期货,跨品种套利。比如卖空玉米期货的同时做多大豆期货,由此可以消除自然灾害带来的风险。西方套利基金买强卖弱依据的是同样道理。

从前面内容,我们可以看出投资组合的意义:

1) 在收益不确定且可能亏损的情况下,改变投资比例可以提高资金的平均增值速度;

2) 如果有多个收益和风险相同且彼此互不相关的品种,适当分散投资比集中投资风险小,且资金增值的平均速度快;

3) 同时投资反相关的品种可以减小总的投资风险,提高资金平均增值速度。

以上关于减少风险的结论和由马科维茨理论得到的结论大体一致。但是马科维茨理论并不提供从长远看使资金增值最快的客观的最优投资比例。

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期货市场存在的合理性

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(9)

 

尽管期货市场声誉不佳,期货交易被认为是零和游戏——有人赚就有人亏(如考虑手续费,连零和都不如),但是这并不妨碍它有存在的合理性——即期货交易可能使各方受益。

以前已有人讨论过套期保值者如何让利给投机者,使得交易使各方受益。但是下面我们从几何平均收益的角度来讨论将使结论更有说服力。

假设参加铜期货交易的有三方(每方有许多家)A方——铜锭生产厂家,卖空期货用以控制铜锭降价风险;B方——铜锭用户,买进期货用以控制铜锭涨价风险;C方:纯期货交易者,试图低买高卖赚差价。AB被称为套期保值者,C被称为投机者。

 

               表1 铜价变化导致产家和用户的产出比变化

未来可能价

A方产出比

B方产出比

20000

0.8

1.6

30000

1.6

0.8

                             

假设铜的未来价格有两种可能:20000/吨和30000/吨,概率各为1/2A, B两方相应的产出比如表1所示。期货的期望价格是25000(/)AB双方现货生产的期望产出比是1.2,几何平均产出比是(0.8×1.6)0. 51.13, 10年累积产出比是1.13103.39 (假设投资周期是1)。如果A方以24500卖出期货给C方,B方以25500C方买入期货,三方投入产出情况如表2所示。

                      表2 预计期货交易后三方的产出比

    

A,B(无套保交易)        

A,B(有套保交易)          

    C

q=q*=0.04

  C

q=0.2

期望产出比

1.2

1.176

1.01

1.05

几何平均产出比

1.13   

1.176

1.005

0.923

10个回合累积产出比

3.39

5.06

1.051

0.449

 

其中假设保证金是每吨 2000元,忽略了交易手续费和AB方期货保证金成本, C方按最优投资比例投资。

C 方投入资金的两种可能的收益是

r1=(20000 24500)/2000= -2.25

r2=(3000024500)/2000=2.75

使用最优投资比例公式

q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)

可得 q*=0.04,优化的期望产出比

Ra=1+0.04 ×0.5×(2.75-2.25)=1.01

几何平均产出比是

Rg*=[(1-0.04×2.25)(1+0.04×2.75)]0.5

  =(0.91×1.11)0.5=1.005

表中也提供了投资比例为 q0.2时的产出比(0.449),意味平均每个回合亏损(1- 0.449)=55.1%。由此可见C方面临的风险。

C 方的特点是:1)风险大,它等于卖保险给A,B两方,自己承担了风险, 这决定了它应当将资金分得很散才行;2)投资周期短,交易频繁,给A,B方提供交易对象;快进快出也弥补了它每轮投资几何平均收益小的缺点。交易手续费对A, B两方的收益影响不大,但是对C方的收益影响较大,特别是对频繁交易的投机者来说。

到此,我们看到,期货交易可能使大家都获益。但是对各方有利的期货交易至少需要这样两个条件:1)现货价格波动较大,以至套期保值成为必要,并使投机者有利可图(许多大品种交易反不如小品种交易火爆,原因在于现货价格波动太小)2)有大量的套期保值者和大量的投机者同时参与;3)手续费不太高。

期货市场存在的合理性除了因为它能够有助于套期保值者控制风险,并能使各方获益,还在于它的价格发现功能——可以起到调节进出口和调节生产的作用。比如95年初,玉米期货价格大涨,从1000元一吨涨到后来的2100元一吨(大连11月玉米),导致大量的玉米进口,也促使农民扩大了玉米种植面积。结果在957月,玉米供求关系开始逆转,到年底,玉米价格大跌。虽然期货价格往往是离谱的,但是它的大幅波动减少了现货价格的大幅波动,或缩短了现货供不应求时间,可谓矫枉过正。

就象人类把自己的许多活动(打猎、钓鱼、舞蹈、做爱等)由手段变为目的一样,期货交易者也往往把期货交易由手段变为目的——使期货交易变为金钱博弈或资金战。这表现在套期保值者改做投机盘;而投机庄家为了战胜对手,利用现货交割作为武器。在一个理性的、对各方有利的期货市场上,交易者只在每个品种上只投入自己的全部资金的一小部分。而期货交易市场一旦成为资金较量的战场,庄家为了控盘,不但会投入自己的大部分资金,还有可能贷款作战。这样,期货市场就非但不是控制风险的工具,反而是制造风险的赌具。

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期货下注比例多大为好

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(10)


    笔者曾听到一位经纪人说:“我看到一个又一个来做期货的亏完钱离开的样子,心里真不是滋味;好象我们把人家骗来,搜光他们身上的钱,再把他们赶出去。”笔者以为原因主要在于投资人头寸控制不好。
    罗恩·迈克尔森在《世界杰出交易商的特色》(《中国期货》,96年2月)一文中写道:一般来说,什么队能拿全国或世界杯呢?是防守好的。…交易大师总是留有退路,以便东山再起。…交易大师总是保存资本。拉里·海特每次交易只拿出1%的资本。《投资者商业报》的比尔·奥尼尔说,每庄买卖所耗费的资本不要超过7%,超过7%,他就会被赶出市场。埃德·赛柯塔说,保存资本是最重要的赚钱秘密,如果不能保存实力,就不能把期货交易进行到底。
    很多人认为,只投入一小部分资金,手里留那么多现金,这不是很浪费吗?从几何增值的角度看, 即使其他资金不投在别处,那也不是浪费。因为期货交易就象打仗,留下的现金就是你的后备军,它能在你亏损时发挥更大效用。笔者赞成头寸控制的重要性,但是不以为7%或10%是牢不可破的界限。头寸控制在多大范围内,应以盈亏的概率预测而定。
    有人说,只要盈利的空间(或者说幅度)是亏损空间的三倍,就值得投资。但是投多少呢?可以百分之百投入吗?盈亏概率不等时又如何处理? 下面我们先看盈亏等概率时, 优化比例如何随盈亏幅度变化.
    例:对于只有盈亏可能性皆相同的投资,一种是股票,盈亏相对(相对于保证金)幅度是 -10%和30%;另一种是期货,盈亏相对幅度是 -100%和300%,求优化的投资比例(忽略资金成本和交易手续费)。

解:用最优投资比例公式
                               q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)

可以得出结论:对于前者,可以满仓甚至透支投入;而对于后者,最优比例是33%。
这表明,风险越大,投资比例应越小。

根据盈亏概率定头寸可以同样依据上面公式。假设两种可能的盈亏幅度是:r1=-2, r2=3; 当0<P1<1时( 其中P1是亏损概率), q*=(3-5P1)/6。图1显示了最优下注比例随亏损概率的变化。

图 1最优下注比例随亏损概率的变化.


有趣的是:q*是P1的不连续函数, P1=0时,q*=1; P1=1时, q*= -1。 但是P1趋向于+0时, q*的极限值是1/2; P1趋向于1-0时, q*的极限值是-1/3。这就是说,只要P1>0,不管它有多小,你的做多头寸占有的资金比例都不能超过1/2,因为一旦超过,有一次亏损,你就得破产;同样,只要P1不等于1,不管它多么接近1,你做空的头寸占有的资金比例都不能超过1/3,因为一旦超过,有一次亏损,你就会全军覆没。由此可见,对于期货这样的盈亏幅度很大、而且不能被绝对正确预测的交易,最优投资比例往往被限制在很小的范围内,一旦超出,就可能破产。这也说明了为什么很多人加入期货交易不久就被淘汰出局。

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从巴费特的一笔生意看保险公司如何量力而行

--漫谈投资组合的几何增值理论(11)


    巴菲特不仅是股票投资大师,还是杰出的保险经营家。他的一个著名经营策略是:在别人纷纷降价销售保险,扩大市场的时候,自己收缩保险业务;在别人遭受破产风险之后,自己再加大保险业务。正是由于这一策略,巴菲特控股的保险公司(GEICO)才能在竞争激烈的保险市场上发展壮大。巴菲特的这一策略通俗说来就是:量力而行,生存唯上。但是巴菲特又敢于冒别人不敢冒的风险。下面的例子说明他特别善于在风险和收益之间作适当的权衡。
最近,巴菲特又做了一桩很大的保险生意。他和加州政府签订协议:在1997年4月1日到2001年3月31日的四年里,加州如发生损失达70亿美元的地震灾害,巴菲特将赔偿15亿。加州为此现在付给巴菲特5.9亿美元。据历史统计,加州出现超过70亿元的地震损失大约80年一次,即巴菲特赔偿损失的概率是
4/80=1/20=5%.
    这笔保险生意看来很合算,因为承保人的期望收益是5.9-15×5%=5.15亿。一旦赔偿,损失是15-5.9=9.1亿(忽略银行利息)。但是为什么没有人出低于5.9亿的价格抢走巴菲特的生意呢?可能的原因是:1)其他承保人心有余而力不足;2)其他承保人担心未来4年发生大地震的概率比过去大许多;3)巴菲特通过非保费竞争手段赢得了这桩生意。对于第三种因素我们姑且不论。现在我们从几何增值理论的角度考虑前两个因素。
首先,假设赔偿损失的概率是5%,求自有资本达多大的承保人承保最好。对于本例,P1=0.05, P2=0.95。 我们可以设亏损额9.1亿就是投资额,则r1= -1, r2=5.15/9.1=0.57。利用不考虑资金成本的优化比例公式,可以求出最优投资比例:

q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)= -[0.05×(-1)+0.95×0.57]/(-1×0.57)=0.862

令q*=投资额/自有资本,可得:自有资本=投资额/q*=9.1/0.862=10.56亿。即:自有资金为10.56亿的承保人承保,可使自己的资金几何平均增值最快。巴菲特的保险公司资产远超过10.56亿,故承保更安全。
    现在我们看另一个问题:假设保险公司自有资产为30亿, 问赔偿概率大到什么程度,保险公司才不合算。令几何平均收益或增值熵等于0,即

H=log2Rg=P1log2(1-9.1/30)+(1-P1)log2(1+5.15/30)=0

由此方程可以解出P1=0.3。这就是说,当亏损概率达到0.3时,如此保险才是不合算的(重复如此保险将使自己的资金不断减少);如果考虑管理费用,这一比例应更低一些。
   
从上面分析可以看出,退出竞争的保险公司过高地估计了承保的风险。保险公司如何参与火箭发射保险竞争?几何增值理论同样可以告诉你如何量力而行。
   
例:卫星发射有失败和成功两种可能,担保金额是2亿,保费是3千万,失败和成功的概率分别为0.1和0.9,问有多少净资产的公司适于独家承保;净资产为3亿的保险公司应分保多大比例?
    解:P1=0.1, P2=0.9; 险公司的投资亏损时亏1倍, 盈利时赚0.3/2=0.15倍, 故r1=-1, r2=0.15. 利用前面公式可以算出最优投资比例是q*=0.23。设保险公司净资产为Z, 则投资比例q=2/Z。令q=q*=0.23, 可得Z=Z*=2/0.23=8.7。故净资产大于或等于8.7亿的保险公司适于独家保险。仅有3亿净资产的公司适于承保的比例是3/8.7=0.34=34%。
    前面假设保险公司在同一期间只承保一桩风险。如果承保多桩风险,就要用到更复杂数学公式甚至电脑程序, 一般情况下要求承保人有更强的实力。上面的优化公式仍不失参考价值。从目前的自然灾害、飞机失事等保险行情来看,保费比率太高了,使得开保险公司远比开赌场合算。希望上面的分析有助于保险行业的竞争,使买保险者受益。
    医疗等保险和卫星发射的地震灾害保险不同, 可能嬴亏幅度xi有多种,保险赔偿比率的概率分布可以通过统计得到。假设x0是保本比率(其确定考虑了保费的投资收益和管理费用)。第i种比率发生时,保险公司的产出比是ri=1+q(x0-xi)/x0, 其中q等于保费除以保险公司净资产。则相应的增值熵是

H=Sumi P(xi)log2[1+q(1-xi/x0)] (Sum表示对各项求和)

对于给定的赔率xi的概率分布和保本赔率x0, 可以用电脑求出最优承保比例q*。设q是保费比率f的函数(因为f越小--即保险越便宜,q将越大--即投保人越多), 即q=q(f),则通过上式可以求出最优的保费比率f *。


在降低保费比率以便增加客户的同时也会增加风险,风险大了又要求有较低的最优投资比例q*。目前在中国,许多保险公司不顾一切地抢占市场(特别是人寿和养老保险市场),好象保费是没有成本的利润,不要白不要,这是很危险的。美国就曾有许多保险公司因降价出售保险而破产。巴菲特的策略--他在保险市场过热时情愿失去部分市场而不降价出售保险,在别人无力承保时加大承保量--值得借鉴。

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期权的魅力和陷阱

--漫谈投资组合的几何增值理论(12)

    期权类似于以前的粮票。如果黑市粮价高, 粮票可以保证你用较低的价格买到国家平价粮食。不同的是, 期权是买来的, 粮票可能是发的, 也可以是买的。期权可以卖空--手里没有也能卖, 而粮票不能。期权的执行价就相当于粮食平价,期权收益就相当于黑市粮食涨价后,卖出粮票的收益;或者先卖后买的差价收益。

    买期权如同买保险,本来是用来控制风险的,但是投资比例太大,那就不但不能保险, 反而制造风险。许多人高价买进的期权到期一文不值,比如1994年的宝安权证。卖期权更加危险。中航油就是因为卖石油期权比例太大破产的。

    股票权证和权证类似, 不过权证一般是上市公司发行的,或有一定信誉的大公司卖出的(即Warrant,香港叫涡轮,卖出公司通过在股市买进对应的股票控制风险),而期权谁都可以卖出。

期权分做多期权(call)和做空期权(put)。两者都可以买卖。这样就有四种期权交易。买入四种交易的盈亏如图1所示。

1. 期权四种交易的盈亏

    由上图可见, 买进期权风险有限, 收益几乎无限。 但是任何商品, 价格总不能低于0, 所有买进Call的潜在收益在理论上大于买进Put的潜在收益;卖出Call的潜在风险大于卖出Put的潜在风险。中航油卖出石油期权就是选中了风险最大的期权交易。    

    有记者自足聪明,把卖出做多期权说成买入做空期权。这是不对的。卖出期权和卖保险一样,要承担大的风险,而买入期权相反。

    如果说期货的魅力在于以小博大,可以卖空,那么买期权的魅力还增加一条:风险有限,收益无限。

    既然卖出期权,特别是卖出做多期权要承担无限风险,那么为什么还有人愿意卖呢?其实这和有人愿意卖保险的原因是一样的。卖家看重的是期权价格,或者叫权利金(Premium)。所以卖出期权也有它的魅力--任何公司和个人可以象保险公司那样,卖保险给期货交易者。

     石油期权价格比绝大多数其他期权价格都高。举个例子,外汇市场1年后按当前家执行的期权,价格大概是期货价格的3%左右,而石油期权价格在10%左右。举例说,现在2005年期货价格是40.34, 40元价格执行的call价格是5.08, put价格是4.74,两者合计接近10元, 也就是说, 同时卖出两者,期货价跌倒30元以下或涨到50元以上才会亏损。如果最后期货价(等于现货价),就是40元,卖家赚钱接近10元一桶。对于同期执行价是45元的call,其价格是3.23, 也就是说,卖家在油价涨到48.23以上才会亏钱(这里忽略了交易手续费), 45以下赚3.23元一桶。

    由于期权价格大多是根据诺贝尔获奖者的公式(Black-Scholes公式)确定的,它只考虑五个因素,当前价,执行价,持仓时间,银行利率,过去一段时间(一年或数年)的价格波动――用均方误差表示。至于是什么原因导致价格波动,波动因素是否已经过去(比如是战前还是战后),市场对期权需求如何,该公式一概不管。该公式的缺陷正在这里。斯科尔斯(Scholes)和墨顿(后者因将公式用于可换股债券定价而同时得诺贝尔奖)参股的美国长期资本公司的破产,就是因为对市场波动估计不足。

    按照常识,引起波动的原因明朗和消除了,未来价格预测就容易些,波动就小些。但是按照该期权定价算法,波动原因明朗后,价格跌了,计算出的波动和期权价格反而高些。所以石油暴涨后,做多期权价格反而更高。这是理论的不足。

    买进期权的正常用法是:

    1)担心价格上涨,但是又不愿买进现货或期货,怕承担下跌风险或占用资金,于是买进适量的Call-上涨时赚钱。

    2)担心价格跌, 但是又不愿卖出现货或期货, 怕承担上涨风险或占用资金, 于是买进Put--下跌时赚钱。

     两种用法都如同买保险,不应买进太多。只有特别看好时才可以酌情多下。 上面的熵公式可以用于期权的投资比例优化。假设一种期权亏1倍的可能性是0.7, 赚三倍的可能性是0.3. 那么最优投资比例是:

q*= (P1r1+P2r2)/|r1r2|= [0.7×(-1)+0.3×3]/|-1×3|=0.2/3=6.7%

可见这个比例比一般人认为的要小。

    香港涡轮每年造就许多百万富翁,但同时使5-10倍的人破产。境内股市以前就有上市公司发的股票认购权证, 最近也有券商创设的权证--有如香港的涡轮。但是溢价(=权证价+认购价-市价)比香港高得多。所以股民们一定小心再小心!

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港股窝轮和牛熊证的异同

--漫谈投资组合的几何增值理论(13)

       窝轮和期权类似。不同的是:期权市场上,任何人都可以无中生有卖出期权; 但是,股市中,只有特定机构可以无中生有地发行窝轮。

窝轮来自英文warrant, 用国内股市语言来说就是创设认购权证。它不是上市公司发行的,而是券商或投行创设的。窝轮到期不需要买股票或买股票交割, 交易所自动把差价(市价超过认购价的部分)划到你帐户上。

窝轮的好处是:1)可以以小博大; 2)看空也可以赚钱。窝轮分做多窝轮(call)和沽空窝轮(put); 正股跌了,沽空窝轮价格会上涨;3)现金交割,不用担心平仓问题。

在港股市场,不光有股票窝轮,也有股市指数窝轮。不光有港股指数窝轮,还有道琼斯等指数窝轮。甚至还有和商品期货挂钩的窝轮,比如小麦窝轮, 黄金窝轮。这类窝轮实际上是期权的变种, 为的是便于散户参与期权交易。创设者在出售商品窝轮的同时,在期货市场买进数量相当的期权,用以控制风险。这类窝轮的溢价要高于期权, 高出的部分就是创设者从中赚的。

窝轮定价和期权定价类似, 按照诺贝尔获奖者的公式,有五个因素要考虑:当前价,执行价,持仓时间,银行利率,过去一段时间(一年或数年)的价格波动――用均方误差表示。至于是什么原因导致价格波动,波动因素是否已经过去(比如是战前还是战后),市场对期权需求如何,该公式一概不管。该公式的缺陷正在这里。

窝轮和国内的认股权证不同之处是, 分红不改变认购价。所以对于看多窝轮来说, 分红越多越不利。这就是为什么有些窝轮价加上认购价还小于正股市价(溢价是负的)。

窝轮还分标准窝轮和非标准窝轮, 标准窝轮和期权一样, 亏损有限, 盈利无限。但是非标准窝轮有特殊规定,也可能盈利也有限。买时要看清,不然吃亏。

买窝轮首先要考虑溢价,也就是要考虑:正股价格涨到什么水平, 你买的窝轮call才能保本?如果窝轮换股数量是1,保本价格就等于认购价+窝轮买价, 如果换股倍数是N(即N股窝轮认购一股股票),那么

保本价格=认购价格+N×窝轮价格

如果是沽空窝轮, 上面加号就变成减号。溢价比例越小越好。

期权的收益等于价差乘以杠杆。杠杆大意味卖家承担的风险大。同样的溢价比例,同样的窝轮价格,杠杆大的窝轮更好。

其次看剩余时间长短――长好、股票价格波动大小――大好、长期存款利率――利率高好。因为利率高,买家就省去了贷款买股支付的更高利息。

我说过,流行的期权定价公式用过去一段时间的股价计算波动率。而未来波动率可能不同。这就给我们提供可乘之机。记得我2002年买澳元兑美元期权的时候, 溢价很低。原因是这以前长时间里, 两者汇率变化很小。这时候买期权比买期货好。等到澳元上涨50%后, 上涨空间小了, 期权溢价反而高了很多。这时候买期权就不如买期货了。

最进香港引进了不久流行于欧洲的牛熊证。股票交易所希望股民能在股市做期货, 但是又担心他们爆仓, 给交易所带来风险, 于是发明了牛熊证。

牛证类似于看多窝轮, 熊证类似于看空窝伦。不同的是,牛熊证都在价内交易,存在溢出(knock-out)规定――当牛证在正股跌到溢出价时,交易就在当天或第二天停止。如果溢出价等于行权价,则当天停止交易,牛证的价值就是0,从而作废; 如果溢出价大于行权价(参看下图), 则第二天就是最后交易日,持有人就得到残余价值――它将小于或等于x-y。小多少呢? 这取决于第二天正股最低价。

图1  牛证残余值和到期值图解

熊证类推。不同的是正股跌了赚钱, 涨了亏钱。

牛熊证具有期货的特点,因而是介于窝轮和期货之间的品种。但是和期货想比,作为买家,他不用担心亏完倒欠。作为发行机构,它不用担心牛熊证像窝轮那样会死灰复燃。但是,用牛熊证对冲持股风险就没有窝轮可靠, 因为它有溢出(knock-out)的可能。

溢出等于期货强行平仓, 让牛熊证买家止损。但是,不幸的是,在溢出价大于行权价的情况下,第二天最为不利的价格就是买家的止损价。所以,买家很可能遭到发行权证机构的恶意做空(对于牛证)或逼空(对于熊证), 而且丝毫没有还手之力。由上图可见,在机构恶意做空的情况下,牛证的残余值在理论上可以达到0。熊证类似。20096月初, 一个又一个恒生指数熊证被打爆(溢出),残余值远小于理论上的止损值=溢出价-行权价。

窝轮和牛熊证的正常用法是用来对冲风险的。 比如你看好个股, 看空大势,你就可以在买进个股的同时买进指数的看空窝轮或者熊证。 如果你看好股市,但是资金一时不能到位,你就可以买进看多窝轮或牛证, 从而避免踏空风险。

买窝轮和牛熊证最重要的教训是:千万不要重仓。窝轮和牛熊证就是敢死队。作为一个将军, 你决不能让你的大多数士兵一战呜呼。保存实力、稳定增值才是长久之计。

香港窝轮每年造就许多百万富翁,但同时使510倍的人破产。境内股市以前就有上市公司发的股票认购权证, 最近也有券商创设的权证--有如香港的窝轮。但是溢价(=权证价+认购价-市价)比香港高得多。所以股民们一定小心再小心!

(写于2008年年初,20096月修改补充。)

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神仙和强盗选择题

--漫谈投资组合的几何增值理论(14)

最近(20086月底),有个电视台邀请一帮股市专家谈熊市对策, 其中一位讲了下面故事, 用以说明如何控制风险。故事是――

你有500元, 路过一座山,遇到一个神仙, 神仙给你两个选择:

1) 从神仙那里拿走100元(20%);

2)掷硬币打赌,赌赢了神仙给你250元(50%), 赌输了, 你给神仙50元(20%)。

下一次,你还是有500元,你路过一座山,遇到一个强盗――一个讲义气的强盗, 强盗给你两个选择:

1)    丢下100(20%)给强盗;

2)    掷硬币打赌,赌赢了,强盗给你750元(150%, 赌输了你给强盗250(50%).

专家的答案是: 两个都选择1)

但是, 用复利或几何平均收益作为标准,在神仙那里应该选择1), 在强盗那里应该选择2)

对于前一个选择题,选择1),则几何平均收益等于算术平均收益,等于20%; 但是选择2), 算术平均收益是20%, 几何平均收益小于算术平均收益, 等于1-(0.9×1.5)0.5 =16%。所以选择1)好。

对于后一个选择题,选择1),则几何平均收益是-20%; 选择2)几何平均收益是

(2.5*0.5)0.5-1=11.8%

可见,从几何增值理论看,控制风险并不总是做保守选择, 有时候以攻为守是更好的策略。 股价跌得很低了, 比如市盈率到10倍或6倍以下了, 你还不敢买,这就太保守了。

(写于2008年6月)

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从中科创业看风险测度VAR的误导

--漫谈投资组合的几何增值理论(15)

VARValue At Risk的缩写, 是西方流行的风险测度,它告诉你某一投资组合在一定时间(比如下一天)内,多大可能情况下(比如95%的情况下),亏损不超过多少(比如不超过100万)。它基于Markowitz的风险测度――收益的均方误差, 同样轻视了偶然的深度亏损。

北京雷斯克公司由一位英国归国博士创立,曾试图在中国推广VAR软件,可是以失败告终。中国著名庄股中科创业原名康达尔,曾被庄家拉高到80多元,后来资金链断裂, 股价暴跌,庄家出逃。现在康达尔35元。具有讽刺意味的是,在《中国证券报》的专栏《雷斯克公司的风险收益排行榜》上, 康达尔曾长期出现在被推荐的首位,因为根据VAR指标,康达尔的风险小(因为股价波动小)收益大(因为过去稳步上升)。

是否存在庄家借雷斯克公司误导? 我不清楚。无论如何, VAR是有问题的。因为根据VAR的算法, 康达尔就是好股票。 美国长期资本公司倒台就与VAR有关;美国次贷危机,VAR也有责任。因为它忽略了预计可能性很小的深度亏损,而且仅仅根据过去表现预测未来。

我建议考虑用我的直角三角形勾股玄公式计算出的风险测度代替Markowitz的均方误差测度:

: 1+期望收益率=Ra

: 1+几何平均收益率或复利=Rg

: 风险测度

分析表明, 在盈亏可能性分布对称的情况下,它和流行的均方误差类似, 在盈亏可能性不对称的情况下,它对可能的深度亏损――虽然可能性很小--以更坏的评价。比如投资人重仓持有垃圾债券、期权、或以整个家产为他人担保时,Rr比流行的均方误差更大,意味风险更大。

理论证明, 该风险测度相当通信理论中的噪声[1] 噪声降低信息传递速率, 类似地,Rr降低财富增长速率[2]

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