马科维茨理论及其缺陷

例：两种证券当前价格皆是1元，证券I(象是期权)未来价格可能是0元和2元，概率分别为1/4和3/4（参看图1，其中产出比=产出比=本利和/本金=1+收益)。证券II(象是可转换债券)的收益的期望和标准方差同样是0.5和0.886，但是收益的概率分布以0.5为中心(产出比以1.5为中心，)对称反转了一下.两者投资价值分析如表1所示(这里忽略银行利息和交易手续费)。

 有人不喜欢分散，认为集中力量分析并投资一个品种更好。而事实往往是：不管你付出多少精力，你对某个期货品种的了解和认识永远有限；盈利往往在于机会，而不在于能力，就象当官一样。分散实际上就是更充分利用机会。

另一方面，不恰当地分散投资也是要不得的。 是否分散要看：1)产出比是否随投资规模增大而减小，如果增大, 比如对于对于存在规模效益的行业，分散往往不好；2)投资的收益是否是不确定的，如果确定，则无必要分散；3)不同投资收益是否是不相关甚至反相关的， 如果相关， 则分散无效。比如同时做多不同月份的期铜和只做单个月份的期铜没有很大区别。

最近我看到一个澳大利亚人写的书《巴菲特和索罗斯的共同特点》，其中说他们都不信分散， 如果机会好， 有多少投多少。我以为这是极其不符责任的说法。巴菲特投资的股票通常7到8种， 而我这个讲究分散的人分散程度也不过如此。索罗斯打击港股的时候，首先大量买进公用事业股，以便攻击失利时弥补损失。他不但分散，还利用反相关分散。要说机会好有多少投多少， 那要看机会是不是不确定的。 如果确定，比如当年的鞍钢转债－－换股成本居然比股价低接近10％，全部投入不妨。最坏也不过就是等候到期拿回本利。如果是集中投资一般股票或期货，这是极其冒险的。我的一个朋友当年就是因为全部投入长虹而栽了大跟头。

另外值得注意的是：同一个市场上的股票中短期往往同涨同跌。分散往往是无效的。最优效的分散是投资在反相关的品种上。

（返回顶部)

反相关组合对几何增值的影响

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(8)

在前面的鸡蛋和篮子的问题讨论中，我们假设几个篮子被打翻是相互独立的，如果几个篮子被打翻是相关的会怎么样呢 ? 显然，如果两个篮子总是一道被打翻，那么，将鸡蛋放两个篮子里和放一个篮子里是一样的，并不能降低风险。同样的道理，分散做多几种同涨同跌的期货和只做多一种期货，风险是同样的。假设共有两个篮子，如果只有而且总有一个篮子被打翻(反相关)，则你可以全部投入资金(各投50%)，这时每次收益稳定不变，几何平均收益等于算术平均收益：

(0.5 ×(-1)+0.5×2)×100%=50%

组合效果最好。

我们用相关系数c(在-1和1之间变化)表示两种投资收益的相关性，c=-1表示两者盈亏总是相反，c=0表示两者盈亏互不相关； c=1表示两者盈亏总是同步。

我们用一对硬币的两面表示投资一个期货品种的收益，同时是A面你亏200%，同时是B面你赚300%，一A一B你赚50%。现在有两个期货品种I和II，它们的价格由两对硬币的投掷结果确定(两对可能共用或反用一个或两个硬币，从而使收益相关性变化)。全部投入资金(各50%)和按优化比例投入资金时，几何平均收益随相关性变化如表1所示。

表中e₁，e₂，e₃，e₄是等可能取值为0或1的随机变量； r₁= -2， r₂=1.5，e_­1是e₁的非( 两者取值相反)。e_{_2}同理；  r_I和r_II是两个品种的投资收益，比例q和q* 是在每种证券上的投资比例和优化的投资比例。

表 1 相关系数对几何平均收益的影响及优化结果

可见，相关系数越大，组合效果越差； 相关系数为1时，等价于全部投资于一种证券，不赚反亏。相关系数越小，组合效果越好。相关系数为 -1时效果最好，这时几何平均收益等于算术平均收益。

手持现货抛空期货就是利用反相关品种投资。在期货市场上买近卖远类似。我们也可以同时买卖不同品种的期货，跨品种套利。比如卖空玉米期货的同时做多大豆期货，由此可以消除自然灾害带来的风险。西方套利基金买强卖弱依据的是同样道理。

从前面内容，我们可以看出投资组合的意义：

1) 在收益不确定且可能亏损的情况下，改变投资比例可以提高资金的平均增值速度；

2) 如果有多个收益和风险相同且彼此互不相关的品种，适当分散投资比集中投资风险小，且资金增值的平均速度快；

3) 同时投资反相关的品种可以减小总的投资风险，提高资金平均增值速度。

以上关于减少风险的结论和由马科维茨理论得到的结论大体一致。但是马科维茨理论并不提供从长远看使资金增值最快的客观的最优投资比例。

（返回顶部)

期货市场存在的合理性

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论（9)

尽管期货市场声誉不佳，期货交易被认为是零和游戏——有人赚就有人亏（如考虑手续费，连零和都不如），但是这并不妨碍它有存在的合理性——即期货交易可能使各方受益。

以前已有人讨论过套期保值者如何让利给投机者，使得交易使各方受益。但是下面我们从几何平均收益的角度来讨论将使结论更有说服力。

假设参加铜期货交易的有三方(每方有许多家)：A方——铜锭生产厂家，卖空期货用以控制铜锭降价风险；B方——铜锭用户，买进期货用以控制铜锭涨价风险；C方：纯期货交易者，试图低买高卖赚差价。A、B被称为套期保值者，C被称为投机者。

               表1 铜价变化导致产家和用户的产出比变化

假设铜的未来价格有两种可能:20000元/吨和30000元/吨，概率各为1/2；A, B两方相应的产出比如表1所示。期货的期望价格是25000(元/吨)，A、B双方现货生产的期望产出比是1.2，几何平均产出比是(0.8×1.6)^{0. 5}＝1.13, 10年累积产出比是1.13¹⁰＝3.39 （假设投资周期是1年)。如果A方以24500卖出期货给C方，B方以25500从C方买入期货，三方投入产出情况如表2所示。

                      表2 预计期货交易后三方的产出比

其中假设保证金是每吨 2000元，忽略了交易手续费和A、B方期货保证金成本, C方按最优投资比例投资。

C 方投入资金的两种可能的收益是

r₁=(20000 －24500)/2000= -2.25

r₂=(30000－24500)/2000=2.75

使用最优投资比例公式

q*= -(P₁r₁+P₂r₂)/(r₁r₂)

可得 q*=0.04，优化的期望产出比

R_a=1+0.04 ×0.5×(2.75-2.25)=1.01

几何平均产出比是

R_g*=[(1-0.04×2.25)(1+0.04×2.75)]^0.5

  =(0.91×1.11)^0.5=1.005

表中也提供了投资比例为 q＝0.2时的产出比(0.449)，意味平均每个回合亏损(1- 0.449)=55.1%。由此可见C方面临的风险。

C 方的特点是：1)风险大，它等于卖保险给A,B两方，自己承担了风险， 这决定了它应当将资金分得很散才行；2)投资周期短，交易频繁，给A,B方提供交易对象；快进快出也弥补了它每轮投资几何平均收益小的缺点。交易手续费对A, B两方的收益影响不大，但是对C方的收益影响较大，特别是对频繁交易的投机者来说。

到此，我们看到，期货交易可能使大家都获益。但是对各方有利的期货交易至少需要这样两个条件：1)现货价格波动较大，以至套期保值成为必要，并使投机者有利可图(许多大品种交易反不如小品种交易火爆，原因在于现货价格波动太小)；2)有大量的套期保值者和大量的投机者同时参与；3)手续费不太高。

期货市场存在的合理性除了因为它能够有助于套期保值者控制风险，并能使各方获益，还在于它的价格发现功能——可以起到调节进出口和调节生产的作用。比如95年初，玉米期货价格大涨，从1000元一吨涨到后来的2100元一吨（大连11月玉米），导致大量的玉米进口，也促使农民扩大了玉米种植面积。结果在95年7月，玉米供求关系开始逆转，到年底，玉米价格大跌。虽然期货价格往往是离谱的，但是它的大幅波动减少了现货价格的大幅波动，或缩短了现货供不应求时间，可谓矫枉过正。

就象人类把自己的许多活动（打猎、钓鱼、舞蹈、做爱等）由手段变为目的一样，期货交易者也往往把期货交易由手段变为目的——使期货交易变为金钱博弈或资金战。这表现在套期保值者改做投机盘；而投机庄家为了战胜对手，利用现货交割作为武器。在一个理性的、对各方有利的期货市场上，交易者只在每个品种上只投入自己的全部资金的一小部分。而期货交易市场一旦成为资金较量的战场，庄家为了控盘，不但会投入自己的大部分资金，还有可能贷款作战。这样，期货市场就非但不是控制风险的工具，反而是制造风险的赌具。

(返回顶部)

期货下注比例多大为好

¾¾ 漫谈投资组合的几何增值理论(10)

    笔者曾听到一位经纪人说：“我看到一个又一个来做期货的亏完钱离开的样子，心里真不是滋味；好象我们把人家骗来，搜光他们身上的钱，再把他们赶出去。”笔者以为原因主要在于投资人头寸控制不好。
    罗恩·迈克尔森在《世界杰出交易商的特色》(《中国期货》，96年2月)一文中写道：一般来说，什么队能拿全国或世界杯呢？是防守好的。…交易大师总是留有退路，以便东山再起。…交易大师总是保存资本。拉里·海特每次交易只拿出1％的资本。《投资者商业报》的比尔·奥尼尔说，每庄买卖所耗费的资本不要超过7％，超过7％，他就会被赶出市场。埃德·赛柯塔说，保存资本是最重要的赚钱秘密，如果不能保存实力，就不能把期货交易进行到底。
    很多人认为，只投入一小部分资金，手里留那么多现金，这不是很浪费吗？从几何增值的角度看， 即使其他资金不投在别处，那也不是浪费。因为期货交易就象打仗，留下的现金就是你的后备军，它能在你亏损时发挥更大效用。笔者赞成头寸控制的重要性，但是不以为7％或10％是牢不可破的界限。头寸控制在多大范围内，应以盈亏的概率预测而定。
    有人说，只要盈利的空间（或者说幅度）是亏损空间的三倍，就值得投资。但是投多少呢？可以百分之百投入吗？盈亏概率不等时又如何处理? 下面我们先看盈亏等概率时, 优化比例如何随盈亏幅度变化.
    例：对于只有盈亏可能性皆相同的投资，一种是股票，盈亏相对(相对于保证金)幅度是 -10％和30％；另一种是期货，盈亏相对幅度是 -100％和300％，求优化的投资比例(忽略资金成本和交易手续费）。

解：用最优投资比例公式
                               q*= -(P₁r₁+P₂r₂)/(r₁r₂)

可以得出结论：对于前者，可以满仓甚至透支投入；而对于后者，最优比例是33%。
这表明，风险越大，投资比例应越小。

根据盈亏概率定头寸可以同样依据上面公式。假设两种可能的盈亏幅度是：r₁=-2, r₂=3; 当0<P₁<1时（ 其中P₁是亏损概率)， q*=(3-5P₁)/6。图1显示了最优下注比例随亏损概率的变化。

图 1最优下注比例随亏损概率的变化.

有趣的是：q*是P₁的不连续函数, P₁=0时，q*=1； P₁=1时, q*= -1。 但是P₁趋向于+0时, q*的极限值是1/2; P₁趋向于1-0时, q*的极限值是-1/3。这就是说，只要P₁>0,不管它有多小，你的做多头寸占有的资金比例都不能超过1/2，因为一旦超过，有一次亏损，你就得破产；同样，只要P₁不等于1，不管它多么接近1，你做空的头寸占有的资金比例都不能超过1/3，因为一旦超过，有一次亏损，你就会全军覆没。由此可见，对于期货这样的盈亏幅度很大、而且不能被绝对正确预测的交易，最优投资比例往往被限制在很小的范围内，一旦超出，就可能破产。这也说明了为什么很多人加入期货交易不久就被淘汰出局。

（返回顶部)

从巴费特的一笔生意看保险公司如何量力而行

－－漫谈投资组合的几何增值理论(11)

    巴菲特不仅是股票投资大师，还是杰出的保险经营家。他的一个著名经营策略是：在别人纷纷降价销售保险，扩大市场的时候，自己收缩保险业务；在别人遭受破产风险之后，自己再加大保险业务。正是由于这一策略，巴菲特控股的保险公司(GEICO)才能在竞争激烈的保险市场上发展壮大。巴菲特的这一策略通俗说来就是：量力而行，生存唯上。但是巴菲特又敢于冒别人不敢冒的风险。下面的例子说明他特别善于在风险和收益之间作适当的权衡。
最近，巴菲特又做了一桩很大的保险生意。他和加州政府签订协议：在1997年4月1日到2001年3月31日的四年里，加州如发生损失达70亿美元的地震灾害，巴菲特将赔偿15亿。加州为此现在付给巴菲特5.9亿美元。据历史统计，加州出现超过70亿元的地震损失大约80年一次，即巴菲特赔偿损失的概率是
4/80=1/20=5%.
    这笔保险生意看来很合算，因为承保人的期望收益是5.9-15×5%=5.15亿。一旦赔偿，损失是15－5.9=9.1亿（忽略银行利息)。但是为什么没有人出低于5.9亿的价格抢走巴菲特的生意呢？可能的原因是：1)其他承保人心有余而力不足；2)其他承保人担心未来4年发生大地震的概率比过去大许多；3)巴菲特通过非保费竞争手段赢得了这桩生意。对于第三种因素我们姑且不论。现在我们从几何增值理论的角度考虑前两个因素。
首先，假设赔偿损失的概率是5％，求自有资本达多大的承保人承保最好。对于本例，P₁=0.05, P₂=0.95。 我们可以设亏损额9.1亿就是投资额，则r₁= -1, r₂=5.15/9.1=0.57。利用不考虑资金成本的优化比例公式，可以求出最优投资比例：

q*= -(P₁r₁+P₂r₂)/(r₁r₂)= -[0.05×(-1)+0.95×0.57]/(-1×0.57)=0.862

令q*=投资额/自有资本，可得：自有资本＝投资额/q*=9.1/0.862＝10.56亿。即：自有资金为10.56亿的承保人承保，可使自己的资金几何平均增值最快。巴菲特的保险公司资产远超过10.56亿，故承保更安全。
    现在我们看另一个问题：假设保险公司自有资产为30亿, 问赔偿概率大到什么程度，保险公司才不合算。令几何平均收益或增值熵等于0，即

H=log₂Rg=P₁log₂(1-9.1/30)+(1-P₁)log₂(1+5.15/30)=0

由此方程可以解出P₁=0.3。这就是说，当亏损概率达到0.3时，如此保险才是不合算的(重复如此保险将使自己的资金不断减少)；如果考虑管理费用，这一比例应更低一些。
    从上面分析可以看出，退出竞争的保险公司过高地估计了承保的风险。保险公司如何参与火箭发射保险竞争？几何增值理论同样可以告诉你如何量力而行。
    例：卫星发射有失败和成功两种可能，担保金额是2亿，保费是3千万，失败和成功的概率分别为0.1和0.9，问有多少净资产的公司适于独家承保；净资产为3亿的保险公司应分保多大比例？
    解：P₁=0.1, P₂=0.9; 险公司的投资亏损时亏1倍, 盈利时赚0.3/2=0.15倍, 故r₁=-1, r₂=0.15. 利用前面公式可以算出最优投资比例是q*=0.23。设保险公司净资产为Z, 则投资比例q=2/Z。令q=q*=0.23, 可得Z=Z*=2/0.23=8.7。故净资产大于或等于8.7亿的保险公司适于独家保险。仅有3亿净资产的公司适于承保的比例是3/8.7=0.34=34%。
    前面假设保险公司在同一期间只承保一桩风险。如果承保多桩风险，就要用到更复杂数学公式甚至电脑程序, 一般情况下要求承保人有更强的实力。上面的优化公式仍不失参考价值。从目前的自然灾害、飞机失事等保险行情来看，保费比率太高了，使得开保险公司远比开赌场合算。希望上面的分析有助于保险行业的竞争，使买保险者受益。
    医疗等保险和卫星发射的地震灾害保险不同, 可能嬴亏幅度xi有多种，保险赔偿比率的概率分布可以通过统计得到。假设x0是保本比率(其确定考虑了保费的投资收益和管理费用)。第i种比率发生时，保险公司的产出比是ri=1+q(x0-xi)/x0, 其中q等于保费除以保险公司净资产。则相应的增值熵是

H=Sum_i P(x_i)log₂[1+q(1-x_i/x₀)] (Sum表示对各项求和）

对于给定的赔率x_i的概率分布和保本赔率x₀, 可以用电脑求出最优承保比例q*。设q是保费比率f的函数(因为f越小－－即保险越便宜，q将越大－－即投保人越多), 即q=q(f)，则通过上式可以求出最优的保费比率f *。

在降低保费比率以便增加客户的同时也会增加风险，风险大了又要求有较低的最优投资比例q*。目前在中国，许多保险公司不顾一切地抢占市场(特别是人寿和养老保险市场)，好象保费是没有成本的利润，不要白不要，这是很危险的。美国就曾有许多保险公司因降价出售保险而破产。巴菲特的策略--他在保险市场过热时情愿失去部分市场而不降价出售保险，在别人无力承保时加大承保量－－值得借鉴。

(返回顶部)

期权的魅力和陷阱

－－漫谈投资组合的几何增值理论（12）

    期权类似于以前的粮票。如果黑市粮价高， 粮票可以保证你用较低的价格买到国家平价粮食。不同的是， 期权是买来的， 粮票可能是发的， 也可以是买的。期权可以卖空－－手里没有也能卖， 而粮票不能。期权的执行价就相当于粮食平价，期权收益就相当于黑市粮食涨价后，卖出粮票的收益；或者先卖后买的差价收益。

    买期权如同买保险，本来是用来控制风险的，但是投资比例太大，那就不但不能保险， 反而制造风险。许多人高价买进的期权到期一文不值，比如1994年的宝安权证。卖期权更加危险。中航油就是因为卖石油期权比例太大破产的。

    股票权证和权证类似， 不过权证一般是上市公司发行的，或有一定信誉的大公司卖出的（即Warrant，香港叫涡轮，卖出公司通过在股市买进对应的股票控制风险），而期权谁都可以卖出。

期权分做多期权(call)和做空期权(put)。两者都可以买卖。这样就有四种期权交易。买入四种交易的盈亏如图1所示。

图1. 期权四种交易的盈亏

    由上图可见， 买进期权风险有限， 收益几乎无限。 但是任何商品， 价格总不能低于0， 所有买进Call的潜在收益在理论上大于买进Put的潜在收益；卖出Call的潜在风险大于卖出Put的潜在风险。中航油卖出石油期权就是选中了风险最大的期权交易。    

    有记者自足聪明，把卖出做多期权说成买入做空期权。这是不对的。卖出期权和卖保险一样，要承担大的风险，而买入期权相反。

    如果说期货的魅力在于以小博大，可以卖空，那么买期权的魅力还增加一条：风险有限，收益无限。

    既然卖出期权，特别是卖出做多期权要承担无限风险，那么为什么还有人愿意卖呢？其实这和有人愿意卖保险的原因是一样的。卖家看重的是期权价格，或者叫权利金（Premium）。所以卖出期权也有它的魅力－－任何公司和个人可以象保险公司那样，卖保险给期货交易者。

     石油期权价格比绝大多数其他期权价格都高。举个例子，外汇市场1年后按当前家执行的期权，价格大概是期货价格的3％左右，而石油期权价格在10％左右。举例说，现在2005年期货价格是40.34, 按40元价格执行的call价格是5.08, put价格是4.74，两者合计接近10元， 也就是说， 同时卖出两者，期货价跌倒30元以下或涨到50元以上才会亏损。如果最后期货价(等于现货价)，就是40元，卖家赚钱接近10元一桶。对于同期执行价是45元的call,其价格是3.23, 也就是说，卖家在油价涨到48.23以上才会亏钱(这里忽略了交易手续费), 在45以下赚3.23元一桶。

    由于期权价格大多是根据诺贝尔获奖者的公式(Black-Scholes公式)确定的，它只考虑五个因素，当前价，执行价，持仓时间，银行利率，过去一段时间(一年或数年)的价格波动――用均方误差表示。至于是什么原因导致价格波动，波动因素是否已经过去(比如是战前还是战后)，市场对期权需求如何，该公式一概不管。该公式的缺陷正在这里。斯科尔斯(Scholes)和墨顿（后者因将公式用于可换股债券定价而同时得诺贝尔奖）参股的美国长期资本公司的破产，就是因为对市场波动估计不足。

    按照常识，引起波动的原因明朗和消除了，未来价格预测就容易些，波动就小些。但是按照该期权定价算法，波动原因明朗后，价格跌了，计算出的波动和期权价格反而高些。所以石油暴涨后，做多期权价格反而更高。这是理论的不足。

    买进期权的正常用法是：

    1）担心价格上涨，但是又不愿买进现货或期货，怕承担下跌风险或占用资金，于是买进适量的Call－上涨时赚钱。

    2）担心价格跌， 但是又不愿卖出现货或期货， 怕承担上涨风险或占用资金， 于是买进Put－－下跌时赚钱。