第二十章物理学（初稿）

 张学文

2002年8月公布于熵、信息、复杂性网站

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在第一、二两篇，我们已经把物理学的熵概念和热力学第二定律（熵原理）作为复杂程度和最大熵原理的特例而讨论了很多。所以熵概念和热力学第二定律的应用就是组成论在物理学中的应用。从这个角度看，组成论早已经应用与物理学中了。对于这些内容，本章仅仅是提一下。

在本章也从组成论的角度讨论了一些新问题，作为物理学局外人，我可能是班门弄斧，但旁观者清也是中国成语。究竟是巧还是拙，请读者自己判断和指正。

§1物理学中的一些分布函数

1.1经典的分布函数

统计物理学中经常介绍1859年麦克斯威给出的分子运动速率分布律：

              （20.1）

它说明了在温度T下N个质量为m的气体分子中不同运动速率v的分子各有多少的计算方法（k是常数）。在分子概念没有得到证实、分子运动也仅是假设的背景下。麦克斯威竟然提出了如此深刻的问题，又以惊人的智慧解决了这个问题，这成为人类智慧一盏明灯。难怪有人认为它是物理学中最难的公式之一。

在统计物理学中还研究具有不同能量的分子各有多少的问题，这种分子的能量分布也经常称为麦克斯威-波耳兹曼分布。在粒子具有的能量仅能取离散值（所谓量子化，在某些单位下，具体的物理量仅能是单位值的整数倍）的情况下，物理学又揭示了所谓费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布。

物理学介绍了这么多具体的分布。但是，王彬教授^[王彬，大量粒子系统的课程教学体系探讨，《物理与工程》，11，1，2001，17-21]认为仅谈具体分布不谈分布函数概念就是“只见树木不见森林”.她结合我国《基础物理》一书的出版，还指出“通过对分布函数、熵与分布函数、最大（信息）熵原理这三个密切相关的问题逐一展开讨论，给出一个较完备自洽的大量粒子系统的课程教学体系”

确实，我们定义的分布函数概念来自物理学中的一些分布公式的泛化。而统计物理学中各个分布公式都成为泛化的分布函数概念的特例了。我们看到这些具体分布都符合“具有不同标志值（能量、速率等）的个体（粒子--如分子、电子、光子）各有多少”这个分布函数模型。

所以提炼出分布函数概念对理解很多问题好处。这也使我们对问题的综合水平、理解深度有了提高。

分布函数概念还可以用到物理学的其他领域。

1.2其他的分布函数

量子物理学中揭示微观物质运动应当服从薛定谔方程。而该方程给出的描述运动的解则称为波函数。这种描述运动的方法与牛顿力学给出的每个时刻物质具体位置是不同的。实际上波函数ψ(x，t)的值自乘（平方）以后仅是给出物质在t时刻出现在x处的概率密度。我们已经知道概率密度是分布函数中的一种。所以量子力学中已经在所谓波函数的语言下使用了分布函数。

一个质量为m的物质点或者电量为Q的点电荷分别形成了万有引力场或者电场，而这些场对单位质量或者电荷所形成的作用力都符合距离平方反比例关系。这是经典的物理学语言。

但是我们也可以把这种场的描述改用分布函数语言。在第五章的第4节就把这个问题改为具有不同位势值的空间各有多少的问题（当存在引力场或者电场时），那里给出电量Q形成的电位场中，电位u改变单位值时其占据的空间v的改变量由下式计算

         （20.2）

而这种新语言（公式）已经是分布函数的语言了。新语言可能没有原来的语言好，但是这体现了分布函数概念的概括能力。

一个小球从30米高处落下，如果它是完全弹性的，就会反弹到原高度。以后它会反复重复这个过程。小球的上下振动实际是由等加速度和等减速度组成的。经典牛顿力学很容易计算它在不同时间的位置和速度。牛顿力学确实为它提供了精确的描述语言。

但是这个物理过程我们也可以用分布函数语言描述为：小球在不同位置（标志值）滞留的时间（个体的数量）各有多少。或者用概率语言描述为：小球出现在不同位置的概率是多少。

根据附录（20.1）中的计算，小球出现在各个位置x（界于0到30米）的概率密度符合下面的公式：

     （20.3）

这里的g、T分别是重力加速度9.8m/sec²和下降30m需要的时间（2.47秒），而f(x) 是小球出现在x→x+1这个区间的概率。以上计算都是根据牛顿力学先得到质点（小球）的运动规律而推算出它的分布函数的。我们并不认为分布函数语言比牛顿力学语言好，但这体现了牛顿语言可以转为分布函数语言。

第五章第4节介绍了描述“运动”的广义集合。那里给出的例子都是分布函数概念在物理学中的应用。第十九章讨论气象学，那里对大气的流体的分布函数分析也是广义的物理学中的分布函数。

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从历史上看有些物理学问题就是利用分布函数思路（不自觉）而展开讨论的，有些问题是用另外的思路讨论的，我们在这里说明改用分布函数描述它们也是可行的。至于这种改动究竟有那些优点或者缺点，这里没有展开分析。仔细分析这些问题是否可以成为物理学的一个新园地？请大家思考。

在组成论的框架中分布函数是广义集合的必然伴生物。所以讨论了分布函数也已经承认了广义集合的存在。此外，物理学努力揭示的物质由分子，进而是原子、基本粒子等这些微观粒子组成的认识都是广义集合在不同层次上的实物模型。物理学的这些成绩都是广义集合的特例。

§2物理学中的复杂程度概念