附录（20.1）：
2002年8月公布于熵、信息、复杂性网站
量子力学语言与牛顿力学的语言都是描述物质运动的，但是在表达方式上有差别。前者用波函数Ψ描述微观物体的运动形态，它的平方被解释为物体在某处某时出现的概率。后者用位置时间速度描述运动。本文通过一个示例使它们进一步接近，做法是为宏观运动从牛顿力学找它的波函数。
“电子云”是用量子力学描述电子位置的通俗语言。“云”密度大的地方电子出现在哪里的可能性就大，反之则小。本文的“云”是分析与一个（不是一批）自由落体的宏观运动所对应的量子力学语言中的波函数，即寻找它的概率分布。由于自由落体的位置速度距离的关系是完全明确的。找出它的波函数对认识确定论与随机论、量子力学与牛顿力学的关系都有启发性。
一个弹性的质点从H=30米高处落向地面，依牛顿力学它以等加速度的方式降到地面。弹性使它又被弹回原高度。在无阻力的情况下质点应当如此反复无尽。一个皮球的落下又弹回是它的近似。现在的问题是在任何一个时刻观测它，质点出现在各个高度的概率如何计算。我们也能绘出它的“云”来吗？
设以质点初始位置为原点而且向下为正方向。在等加速运动情况下质点移动的距离x应当与时间 t 有如下关系式
x=（gt2）/2 g是重力加速度，9.8m/sec2
我们从时间t=0开始每0.1秒用这个公式计算一次质点的位置x，经过多次计算得到了质点在不同时刻的位置。这绘成了图（1）。图中每个白点代表一次计算的位置。白点多处代表质点在那个区间停滞的时间长一些。白点的分布已经表示了落体下降时形成的“云”了。
落体在各个时间的位置表
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时间 |
0.* 秒 |
1.* 秒 |
2.* 秒 |
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0.0秒 |
0.0（x的值） |
4.9（米） |
19.6 |
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0.1 |
0.0 |
5.9 |
21.6 |
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0.2 |
0.1 |
7.0 |
23.7 |
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0.3 |
0.4 |
8.2 |
25.9 |
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0.4 |
0.4 |
9.6 |
28.2 |
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0.5 |
1.2 |
11.0 |
落地后返回 |
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0.6 |
1.7 |
12.5 |
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0.7 |
2.4 |
14.1 |
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0.8 |
3.1 |
15.8 |
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0.9 |
3.9 |
17.6 |
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以上用确定性方法分析一个落体的下降过程。但是从图1中已经看出了“云”的形象了。为了求量子力学语言中的波函数，恰当引入古典概率的定义就可以了。
掷一个骰子其 “三点”向上的概率p应当是1/6，用古典概率定义，概率是有利的结局的数量与全部可能结局的数量的比值，即
P=（有利的结局的数量）/（全部可能结局的数量）
=（1/6）
随意拿来一个钟表，它的时间恰好在5-6时的概率是多少？依概率定义，有利结局为1小时，而可能结局为12小时，所以这种事件出现的概率为1/12。仿此可以求一个下降中的质点在任何位置的概率。
先计算质点下降30 m所用的时间T 。 根据公式 x=（gt2）/2，取x=30 m，重力加速度g=9.8 m/sec2，t=T 应当有
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即下降30米用2.47秒。这可以看成是一个周期，下一个2.47秒又重复一个对称的过程。2.47秒对应于前例中全部可能结局的数量（12小时）。
如果用相机拍照质点的下降过程，每次拍照时间不是2.47秒而是Δt秒（如0.1秒）， 设在Δt秒内质点位于x→x+Δx的范围内。依概率定义，拍照的照片上质点在x→x+Δx的范围内概率Δp显然为
Δp=（Δt）/（T）
对公式x=（gt2）/2 求差分有
Δx=gtΔt 用这个式子代入前面的式子
Δp=Δx /（Tgt）
利用距离与时间的关系式x=（gt2）/2 知
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概率Δp是指Δt秒内质点恰好位于x→x+Δx范围的概率。
如果以Δx 除上式并且令Δx趋于无限小应当得到质点出现在单位距离内的概率。在概率论中这被称为概率密度f，即有
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在量子力学中把概率密度的平方根称为波函数Ψ，所以把上式开平方就得到量子力学的波函数Ψ，即
这个式子描述一个（不是多个）宏观弹性质点在自由降落过程中它的位置x出现于各处的“波函数”。它的平方值就是质点在该处出现的概率密度。它是一个仅与位置有关而与时间无关的（稳定的）函数。
如果把高度30米直接写为H，并且把T与H 、g的前面的关系式带入，上式也可以简化为
图2 描述了波函数值的平方（概率）与x 的值的关系。它就是落体的“云”的定量表示了。至此一个遵守牛顿力学的质点用量子力学语言的波函数表示了出来。
图2
显然，把f（x）对x做定积分就可以求出质点出现在各个位置的概率值（从概率密度换算为概率，与量子力学中对波函数的平方做体积分相当）。例如计算质点在a-b之间的概率p用的算式应该是
把a，b的值分别取0-30 m、0-0.3 m 、10-10.3 m、 29.7-30.0 m这四个区间，可以求得概率p分别为1.0、0.100、0.008、0.005 。取0-30m代表全部下降过程，它的概率当然等于1，即质点在0-30m范围内为必然事件。另外三个分别是最初的30cm、10m处的30cm和最后30cm的概率。我们看到质点恰好在最初的30cm的概率高达10%，而另外的两种情况的概率仅为0.8%和0.5% 。概率随x的加大而变小的情况是很清楚的。
l 这个宏观物体的波函数能用观测方法测量吗？用一个相机为质点的下降过程等时间间隔地拍10000张照片，我们从照片是得到10000个x 的值。如果x在0-0.3m处的照片大约有1000张（占总量的10%）、在其它区间的照片数占的比例也与积分计算的概率基本相等就可以说我们已经用观测验证了波函数公式。
l 如果不是自由落体而是在一个区间内做等速度运动，我们也容易求得它的概率分布函数为一个水平的直线（参考组成论第五章的图5.2）。
l 我们还可以有很多类似的例子。北京市的1路公共汽车每天往返于天安门大街东西两端。一个外星人在空中为它拍照，问拍得的照片上汽车出现在各处的概率是多少？一个人在家里、在路上、在办公室的概率上多少？一个轮船一个飞机一个鱼在各处的概率是多少？…实际都可以在调查的基础上求得它们的概率分布函数。
l 本文就一个自由落体用牛顿力学和概率定义求出了它的量子力学语言下的波函数。它是个稳定的仅与降落距离x有关的函数。函数的形状是x的数值小则函数值大，质点下降时x值加大，函数值变小。其含义是质点在顶部滞留的时间长，被发现的概率高。
l 在量子力学那里我们仅知道例如电子的波函数，而不知道质点的位置、速度。本例中则是先知道粒子的位置、速度与时间的关系，再计算它的波函数。这启示我们是否可以从已知的波函数反求质点的位置、速度分布，例如从电子云的分布反求电子的可能运动轨迹和速度。从而对电子运动有更清楚的描述？
本例启示了什么？欢迎大家提供看法。