第十一章最复杂原理（00.12.30）
§ 11.1 广义集合的内在随机性§11.2 不同的广义集合有不同的出现概率 §11.3 计算不同广义集合出现概率的一个模型 §11.4 对模型的推广 §11.5 更一般的模型 §11.6 最复杂原理 §11.7 普通的例子 §11.8 最大熵方法 §11.9 热力学第二定律 §11.10 小结 |
最复杂原理：有随机性的客观事物（广义集合）都自动使自己内部状态的复杂程度在限制条件下达到最大值。 最复杂原理是概率公理的推论。 信息论中的最大（信息）熵方法（原理）和物理学中的热力学第二定律（熵增加原理）都是最复杂原理的特例。 |
本章讨论复杂度定律的核心部分：最复杂原理。为此，我们在分析了客观事物的随机性问题以后就深入到有随机性的各个广义集合（连同其分布函数和复杂程度）的出现概率问题之中。通过对典型事例的计算分析，发现各个广义集合的出现概率与其复杂程度存在线性关系。这表明出现概率最高的广义集合与复杂程度最大的广义集合是一个含义的两种提法。
联系上一章的概率公理，我们自然得到一个认识：最复杂的客观事物也是出现概率最高的事物。由此引申出另外一个结论：最容易出现的事物是复杂性最高的事物。这既是最复杂原理的由来，也是它正确性的依据。
§
11.1 广义集合的内在随机性第一篇
介绍了广义集合、分布函数和复杂程度，主要是用确定性的观点分析客观事物。一副麻将牌，一个班的全体同学等等都是确定性的广义集合，有了它可以计算出它对应的唯一的分布函数和唯一的复杂程度值。这些，当然也是确定性的。但是
第五章（广义集合类型）也把统计学中的随机抽样的结局、概率做为广义集合中的一类归入我们的视野。在第八章介绍信息熵的时候又引出了信息熵与复杂程度是成正比例的物理量的结论。而信息熵就是信息论创始人C.E.Shannon定义的熵，它是从随机变量的概率分布的角度定义的熵，它天然地属于随机性的范畴。这说明广义集合、分布函数、复杂程度概念可以用于决定性的事物中也可以用于随机性的事物中。第
10章第1节我们曾经简要介绍了20世纪的科学观从决定论向随机论的转变。“宇宙间统计秩序随处可见，而决定论则绝无仅有”正在变成时髦的观点。在这种时代背景下我们后面对广义集合、分布函数、复杂程度的分析主要是从客观事物的内在随机性的角度入手。即我们总是力图寻找一种角度，使被研究的客观事物（广义集合）的随机性得到重视、使客观事物的随机性的规律得到利用。确实，利用决定论观点研究问题的工作已经进行了数百年，并且硕果累累。而利用随机论观点研究问题的工作我们开展的时间不算长，经验不多。在某些领域可能还不知道如何开展这方面的工作。我们认为广义集合、分布函数、复杂程度都是从随机性角度研究客观事物的有力工具，而本篇介绍的原理就是随机性世界中的原理。把这些概念与原理引入这些领域，就可能为随机性研究打开新的理论空间。
一副麻将牌包含那些牌都是确定的，可以认为它是确定的广义集合。可是玩麻将牌时不得挑牌，游戏者拿到的13张牌是随机抽样的一种结果。每个游戏者得到什么牌有随机性。说这13张牌的出身伴有随机性是妥当的。气象人员每天都观测全国的温度。这个温度观测结果是一个确定的广义集合。但是由于每天各地的温度都在变化，统计学中把它们看成“随机变量”并不为过。我们把全国各地的今天的温度这个广义集合看成是众多个可能结果中的某一个；承认它有随机性不为过。
某学生的考试成绩是85分。这是个确定的数（统计学里还是称为随机变量）。全班同学的考试成绩构成的广义集合也是个确定的广义集合。但是我们也可以换个观点分析它。这次考试为什么每个学生的成绩是这样而不是别的，这与他昨天复习了什么、平时理解了多少、考试时是否太紧张等等随机因素都有关系。换言之，每个确定的数据或者广义集合的背后都有内在随机性存在。全国的人口在年龄上的分布为什么是这样？仔细想想就明白内中有很多随机性因素影响了它！
我们举过很多个自然科学和社会科学中的广义集合的例子。仔细分析都会发现它们为什么恰好是这样而不是别的？其中几乎都含有随机性。是的，广义集合成了描述某些客观事物的更准确的语言，我们自然会认可很多很多（一切）的广义集合也都有内在的随机性。
“天有不测风云，人有旦夕祸富”这是中国的民谚，它体现了中国人早就承认客观事物中存在随机性，很多广义集合有内在随机性显然就是群众、哲学家和科学家说的“客观事物有随机性”。§
11.2 不同的分布函数和复杂程度的出现概率问题 定性说明了很多广义集合具有随机性以后，现在把随机性问题的讨论深入到广义集合的分布函数和复杂程度中去，还要讨论如何使随机性定量化。我们可以把一付麻将牌看成一个确定性的客观事物，但是玩麻将牌时每人拿的13张牌也是一个广义集合。游戏者更关心由13
张牌组成的这个广义集合。由于拿牌的过程（实际是事先的洗牌和掷骰子的过程）本质上是一种随机抽样过程，使游戏者得到的（一手牌）广义集合带有随机性。广义集合的随机性也反映在它的分布函数方面。即游戏者可能得到这个分布函数也可能是另外的。由于随机抽样得到的不同的广义集合伴有不同的分布函数，我们说出现什么样的分布函数也有随机性。这与掷一次骰子出现几点有随机性是类似的。根据复杂程度的定义，它是对分布函数的一种运算，含有随机性的分布函数当然也使复杂程度的值会随着分布函数的变化而变化。所以也可以说有随机性的广义集合其复杂程度也有随机性。
“有随机性”是个定性的提法，它如何定量化？利用概率概念是使它定量化的一个可取的做法。后面就顺着概率这个链条定量分析广义集合的随机性。于是就自然地提出了下面问题：不同的广义集合的出现概率是多少、不同的分布函数或者复杂程度的出现概率是多少。这些都是后面要讨论的重要问题。
下面就以例子说明这种概率可以计算。