附件之一：邹晓辉研读张学文先生原著的彩色标注文本。  

(2002.04公布于 http://entropy.com.cn  )

字符多项式与表格数学 

张学文

       关键词：多项式 表格 字符多项式 表格数学

摘  要：本文提出一种新的数学工具，称为“字符多项式”。它可以描述选举、颜色、中药、乐谱、表格等很多事物。字符多项式为一些学科引用数学工具提供了新的思路和技术。我们发现字符多项式与表格是等价的，研究它还可以发展表格数学。

（邹晓辉：“字符多项式与表格”的“等价”关系，或：两者的区别与联系，是关键。）

1.引言

广泛引用“符号”表示一类事物是很多学科走向科学化的重要环节，也是引入数学分析和逻辑分析、发现客观规律的前期准备。符号化和数量化的程度是一门科学的成熟程度的标志。皮亚诺（G.Peano）说“在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反映”。

（邹晓辉： 提供新、旧两种范式的对照表，

以便防止在对不同范畴的问题进行定性分析时把思想搞乱。）

现在的很多科学分科以定性描述为主。这些学科由于没有引入合适的符号，它至今可能还没有站在“科学”的起跑原点上。基本概念和事实的符号化对于很多学科是重要问题。

我们发现一些与数学交往很少的领域（如选举、颜色、中药、乐谱等），可以利用一种类似多项式的符号统一表示它们。我们把这种表示形式暂且称为字符多项式。字符多项式可以在各种学科中找到大量的实例，这为很多学科走上符号化和利用数学成果打开了道路。

我们经常使用各种表格。“表格”不仅是更规范化的语言，也是字符多项式的变态，一切的表格都可以化为对应的字符多项式。

字符多项式是一种符号化的描述事物的方法，也是数学研究的对象。揭示字符多项式的规律会支援定性的学科走向符号化、数学化。对字符多项式的研究还可以发展表格数学。

（邹晓辉：“符号化”还不是问题的关键。因为，符号化并不等于数学化。）

2.字符多项式

字符多项式与普通代数学中的多项式有类似的外型，主要区别在于它的“符号”一般代表着“字符串”而不限定它仅代表“数”。一般用斜粗体的字符如A，B等表示某个字符多项式。它的写法与代数中的多项式类似。对字符多项式A一般写为

A=a₁x₁+a₂x₂+…

A=∑a_ix_i

上面仅有一个求和符号的字符多项式称为一阶字符多项式。二阶的字符多项式是

B=a₁,₁x₁y₁+a₁,₂x₁y₂+…+ a₂,₁x₂y₁+a₂,₂x₂y₂+…

B=∑∑a_i,_jx_iy_j

它有两个求和号（其a_i,_j对应一个矩阵），余此类推。仅有一项（没有求和符号∑）的字符多项式是零阶的。

字符多项式的各个x_i（i=1，2，…，k）一般称为字符多项式的变量。a_i称为“函数值”，它的地位与一般多项式的系数类似，而变量和函数值都可以是“字符串变量”（计算机语言）。即它们在一般情况下是一些名词，仅在特殊场合是数值。变量和函数值可以是“字符串”，这是它与一般代数学里的多项式的区别。∑显然是沿用数学中的求和符号，所以本表达式包括了加法（“+”号）。“+”号一般表示“和”、“还有”、“ 以及”、“随后”等等。它具有该字符多项式特有的运算含义。有时为了避免变量与函数值中的数值混淆，可以把变量放到括号中。

（ 邹晓辉：“计算机语言”？计算机语言与计算机程序语言是有很大区别的。这就如同自然语言与数学语言也不同一样的道理。）

3例子

1、身高（物理学）：用A表示某人的身高为1.7米（m），就得到了一个仅有一项的多项式：A=1.7米。这里1.7是函数值，“米”就是x这个字符串变量的值。本例说明物理学中含有单位的表示物理量的方法本身就是字符多项式的特例，它对应的是零阶字符多项式。

（ 邹晓辉：也许：您这里的a_i称为变量的系数值比称为您的“函数值” 更合适吧？我认为：您的“函数值”在这里是变量的某一个值，即：一个常量，实质就是未知变量的系数的值。）（张学文：这个意见好）

2、矢量（数学）：平面直角坐标中的一个点A距x轴的原点有3个单位距离，距y轴的原点有4个单位距离（3，4），数学中可以写为3i+4j ，这里i、j 分别是x、y方向的单位矢量。解析几何学中的这种表示一个点的位置的方法本身符合我们的字符多项式定义。把这个点记为A，有A=3i+4 j这说明数学中的一种表示向量的方法也是字符多项式的特例。我们可以把字符多项式看作是一个矢量。“+”号在这里表示矢量运算中的加法。

（ 邹晓辉：“3i+4j”？为什么用复数？“3i+4j”不是复数而是多元数的虚部。我认为：这也许是您的理论或方法的关键问题之所在。一方面，您看到了：“i、j 分别是x、y方向的单位矢量”；另一方面，似乎您又不知道：数学家为什么发现了四元数、八元数，而却找不到三元数、五元数。）

有了定义和这两个例子很容易用它表示例如分子式、选举、颜色、中药、乐谱等各种事物。

（3、--10略）

 这10个例子初步说明只要理解了字符多项式的含义，就可以把统一的字符多项式格式用于过去人们根本想象不到的很多领域中。

（邹晓辉：可在它与表格的区别与联系方面做进一步的分析。）

4由来

赵克勤创立集对研究领域^[1]，他把两个事物的关系，区分为相同的部分、相异的部分和相反的部分，规定用联系度μ综合表示它们的权重。提出了联系度的公式为μ= a+bi+cj

这里1，i，j分别代表“联系”中的“同”，“异”，“反”三个含义不同的词， 而a，b，c是系数（实数）分别代表“同”，“异”，“反”的权重。赵克勤等人用它分析了很多事物。联系度公式也是一种字符多项式。赵克勤公式是字符多项式的一个思想来源。

（邹晓辉：赵克勤的“联系度的公式μ= a+bi+cj”的确有意义。但是，不知这个“a+bi+cj”的形式是不是数学意义上的三元数——多元数的一种形式？）

提出字符多项式主要是基于笔者把统计物理学中的分布函数概念推广时被迫引入广义集合概念^[2]，而新创立的广义集合多项式可以描述各种离散型的分布函数。把广义集合多项式再推广，就成了字符多项式。

物理学对有单位的量的写法、数学中矢量的表示法、复数的表示方法、文献[3]（描述语言）和文献[4]（讨论操作和程序）都是字符多项式的特例和思想来源。

（邹晓辉：不知“复数的表示方法”与您的“字符多项式”是如何具体地联系在一起的？为什么您的表述没有把“矢量的表示法”与“复数的表示方法”联系在一起？您为什么采用“3i+4j ”而非a+bi的形式？）（张学文：前者应当包括了后者吧）

5初步说明

有单位的物理量（如身高1.7米）和矢量都是字符多项式的特例。所以字符多项式是数学、物理学中表示事物的方法的延伸。我们的创新点是把过去的“量”的单位，或者“矢量”的单位扩展为更一般的“字符串”。而在计算机语言中“字符串”已经是一种特殊的变量有自己的运算规则。字符多项式是计算机的字符串变量概念的延伸与应用。

（邹晓辉：计算机程序语言中的字符串变量完全是基于对前台字符串对应的后台数据结构及算法而言。应该说：这与您的“字符串变量”是有相当大的区别的。）（张学文：计算机程序语言中的字符串是字符多项式的一种，不同种类的字符多项式有不同的运算规律）  

（下略）

7表格的数学

迄今，各种表格都仅仅是便于视觉接受的一种特殊单元。它不是运算的对象。多项式是可以运算的，现在明确了表格与字符多项式对应，于是表格的运算规律问题也就提上日程。  

...（略）

（邹晓辉：请问：您如何解释excel与access表格中的对象可计算这一事实？注：代数多项式的演算规则与多元数的演算规则不是一个层次的问题，您的“字符多项式”属于它们之中哪个范畴？）（张学文：前一个问题在最前面我谈了看法。对第二个问题，我对多元数不了解。但是因为字符多项式太一般化，我想代数多项式，外型类似的多元数都是它的特例。而不同类型的字符多项式有不同的运算规律。所以多元数的规律，字符串的规律都是字符多项式的规律的特例）

8运算规律

我们指出很多领域的事物、过程、表格都可以用字符多项式来描述。这既是我们描述客观事物技术的进步，也是为寻找客观规律提供阶梯。普通代数学中的多项式有一系列的运算规律，新的字符多项式有那些规律？

....

如果我们为各种类型的（代数学中的多项式仅是其中的一类）的字符多项式找到了对应的运算规律，那么关于表格的运算规律也就水到渠成，一门“表格数学”也就诞生了。

9结束语

一切学科应当充分引用数学。但是引用数学的一个前期工作是使该学科的事物“符号化”。如何才能把各领域的各种事物符号化？本文提出的字符多项式就是使很多领域的各种事物、过程、表格符号化的一种新的思路与技术。字符多项式概念的引入为一些学科引用数学规律开辟了道路。这也开阔了数学领地，推进了数学的应用。

分析显示每种表格都对应一个字符多项式。研究字符多项式也推进了对表格的运算规律的研究，于是“表格数学”呼之欲出。

规定了（明确了）字符多项式的运算就得到了运算的规律，而这就构成了一个“代数系统”。至于各种字符多项式的具体规律有那些，这应当是各个领域的学者下一步的研究课题。

（邹晓辉：7、8、9三部分，您谈到了“字符多项式”与“表格的运算规律”或“表格数学”之间的关系，而且，您还指出：“字符多项式是一个代数系统”。

这都说明：您在逼近当代数学有较为深刻认识与应用的多元数领域，为什么不再多进一步呢？（张学文：希望有机会学习多元数的知识）

另一方面，在计算机软件领域，对于表格的计算或分析，已经有非常深入的研究，而且还有丰富的运用与应用成果。尽管如此，但是，我仍然认为：您的研究成果——“字符多项式”是有意义的。

顺便说一句：

——我的《融智学》表达基因文本元素的代数通式，就是应用多元数领域的成熟数学理论以及多个相关科学学科的方法。

——我正在实现的《一种知识信息数据处理方法及产品》的标准化共享知识信息数据库，也就是应用计算机软件的上述领域的成熟科技成果。）