3. 非线性与物理空间转换

非线性是数学名词，表现为数学方程式中未知函数的非一次项。若函数为非小数的有效数量时(若为小数有效值，可因其乘积成为无效小数值的误差运算，即为Chaos学说存在的原则性问题)，其数量变化可呈指数形式爆发性增长，比线性更加不稳定，并可较快的演变为数量的无界性。这里以简单的微分方程为例作一说明。

此方程的定解问题可以写为

即使由传统方法，也不难求得其解为

或

式中，为初值散度。将（3.2）在 < 0（辐合）时绘制成图3.1，由图中可以看

到非对称的物理空间转换。这表明非线性问题（3.1）含有，

当<0时，可由 < 0转换为 > 0 ，并又是非对称的；

而在 > 0时，当t → ∞，→ 0。相应的 不能等

于0 ，因为=0 ，（3.1）问题为平凡解。所以是非对称的，也是不可逆的，不能构成可恢复性变化，而成为演化问题，并在t=tb时，构成了转折性变化。即在有限时间内（3.1）问题的初值体系就可崩溃消亡，而在t稍大于tb时就已由辐合转换为辐散的非初值了。

此例非常简单，但已足以说明非线性问题与线性问题有本质性差别：

1） 非线性问题在有限时间内不能满足物理量守恒， 在的左右是非对称的。

2） 非线性问题可在有限时间内（）出现数量的无界性。由上一节讨论知数量无界性是物理空间的转换。

3） 数量的无界性不等于不确定性， 而 是遇到物理空间转换时数量不能以确切 的数值描述而已。也可以说转折问题不 是数量问题，即非线性问题涉及了物理系统的空间转换。此例说明了初值的辐合可在（）时刻，转换为辐散而称为溃变（blown-up）。为此，数量的无界性，恰恰是物理结构转化的确定性。这也顺便说明了物理的确定性，并不是牛顿的初植确定性问题，而应是含转折性变化在内在的演化确定性，初值不变性不是演化。

作为讨论问题的直接性，不妨以牛顿第二定律为基础，由动力系统的数量数学模型，有

(3.4)式的左端若乘以m，即为牛顿第二定律。式中u为运动变量（速度），t为数量时间，F为“物、力”分离体系的作用力，以数量表示。（3.4）式也称为数学模型的拉格郎日语制动力系统的一般形式。

显然，作为一般性，F可以是u的不同形式的函数。例如，若F是u的不同次数的多项式，即可讨论二次或三次式等非线性特征，并可以证明涉及非线性演化溃变的八个定理^[7]。这里仅給出二次式的情况。

取二次式的一般形式，

式中p,q为常数。由(3.5)，（3.4）可以写为

显然，若p,q为不同值时，（3.6）具有不同形式的解，可分为三种情况：

1)时，则（3.6）可写为

上式积分后，有

式中A₀为常数。由（3.8）知，若A₀ > 0，则u连续变化，不出现转折性的溃变。应说明的是溃变不同于台阶式的跳跃性突变，而是完全不同于初值体系的转折性变化，溃变不只是数量增、减，而是性质或形态结构的变化。

2）,则（3.6）可以写为

上式积分之，有

由(3.10)知，若运动限于的有界的局部变化时，则

(3.11)所描述的光滑解仅仅是有限的局部情况。有趣的是（3.11）微商一次，即可得到困扰人们长达一个多世纪的孤立波解。或者说著名的孤立波问题仅仅是二次式非线形模型的特殊情况，不具普遍性。

若，即对于整体普遍性，有

即(3.12)揭示了运动可演化为转折性的溃变，并当A₀ > 0，溃变将发生在。

（3.11），(3.12)表示了同一非线性模型可因条件的不同而具有不同形式的解。传统上在连续性观念的束缚下，没有或忽略了更本质和普遍的非线性特征，并具有局部光滑性孤立波或cth(kt)也不是线性的谐波。所以，非线性即使作为数学问题，也不能线性化。

3），(3.6)可写为

积分上式,有

取(n=整数)，则(3.14)描述了周期性的多次溃变(b1own-ups)。

以上是按数量不稳定所涉及的数量无界性引起的物理空间的转换，显示了非线性即使对于物理量也是转折问题，或更明确地说明非线性可以借助数量无界性体现了物理量的性质或形态结构的改变，而显示了演化的确定性。

由上式讨论中可以得出，即使作为数量，若F为非线性形式，则其演化的普遍性或本质性为含有转折性。

由于第一推动的牛顿第二定律，将被推动的m作为质量的数量，并在作用力F和m不变的条件下，相应的牛顿第二定律，为

必然没有涉及演化，仅体现了第一推动下常加速运动，即牛顿第二定律没有体现变加速或旋转，也可以说变加速和旋转已经不是惯性系的第一推动了。

考虑到实际物质的结构非均匀性，正如老子指出的“道之为物，其中有象”^[8]。也可以说成“天下无非象之道，物生而有象，象成方有数”，和墨子的“力，形之所以奋也”^[9]，则（4.2）式可以改写为

r 为密度，即单位体积的质量；－Ñ S为物质非均匀的梯度力，若S为均匀的常数则－Ñ S=0，当物质是均匀的质点时是没有力的，即“上帝”也必须是有结构的。有趣的是，早在2000多年前中国的墨子已经解决了力是什么，但近代科学还在乞求上帝。

显然，若r 、S即使作为数量的变数，（4.3）也是数学的非线性问题。由前面的讨论知，（4.3）应含有较为广泛的演化的溃变，并更有意义的是，即使在惯性系的稳定下，十九世纪末（1898）已由皮雅克涅斯证明了环流定理，即（4.3）式右端为

或称为涡源的非线性力管项^[10]。这表明对于实际的非均匀物质，已经不是第一推动，而是相互作用的第二搅动，之所以称为第二，其原因是在于物质非均匀结构是第一位的，而力、数量等都是物质的属性，故为第二位。重要的是搅动必然导致旋转，而旋转不是单一的，必有内旋、外旋共存，否则仅为内旋或外旋都不能独立存在。这正好是自然界对立统一原理的由来，并较早地体现于中国古代的“阴、阳”中。

作为近代自然科学，环流定理是应当有其独到的贡献的，但并未为现代自然科学所广泛和深入的理解。因为它隐含了相互作用的非线性已经体现了物质结构的含义。当年皮雅克涅斯已由此指出了大气、海洋都是以涡旋运动为基本特征的。现在已发现地壳的板快不仅是旋转的，并地壳应力集中的“构造结”，也是由于旋转才导致能量集聚的^[11]；地震也发生于应力轴的旋转^[12]。由此，也说明了实际的宇宙物质采取旋转运动方式，似乎应当是非常清楚的问题了，并已构成对经典力学的重大叛离。

第一推动的非演化性与演化科学概述(3)