证明费马猜想成立的初等方法研究——整数n≥3, zn=xn+yn是假等式的五个初等公式解析证

周明祥 鄢福荣 宗玉龙 文光

gunrose008@avl.com.cn 

2004,1公布于潜科学网站

　

认为整数n≥3，

zn=xn+yn 　　 　　　　(1)

无正整数解．这就是著名的费马猜想，习惯称费尔马大定理．现我们已得了十多种初等证明方法，本文选择五个证明(1)是假等式，从而为费马猜想的初等证明补上空白.

　

一、写方程为正实数底数，(1)是假等式证

(1)广义为正实数底数，据幂的运算法则和勾股定理便孪生得

z2 = x2 + y2 , (2)

n≥3，zn = z2zn-2 =（x2+y2）zn-2 = x2zn-2+ y2zn-2　＞ x2xn-2+ y2yn-2 = xn+yn．(3)

假等式(3)>号两端是以(2)为基础，与乘法分配律相悖增值，即由

z2 =（x2 + y2）乘较大的数zn-2，x2 + y2不同乘zn-2而分别乘较小的数xn -2 、yn-2而得 . 据(3)两端与(1)两端等价，证明(1)左端大于右端，是假等式 .

既然(1)在正实数范围内是假等式．当然就无正整数解．这是一个再简单不过的数论道理了.对此,本文择四个途径验证之.

　

二、写方程为二奇一偶底数，(1)是假等式证

1>，(1)(2)同为二奇一偶底数，等式有同一的择数条件是：

2 ##x ＜2 ##z ， 2 #y ＜ z ， x+y＞z ， (4)

(编辑说明：#，## 两个符号分别代表可以整除和不能整除的意思,即2#y：y是偶数被2整除下同）

因此，我们恒可据2## x = 2N+1=(N+1)2-N2，构造出(4)所需的底数为：

x=(N+1)2-N2＜z=(N+1)2+N2, y=2(N+1)N＜z=(N+1)2+N2,

x+y=(N+1)2-N2+2(N+1)N＞z=(N+1)2+N2 ,并使(2)成立为

[(N+1)2+N2]2=[(N+1)2-N2]2+[2(N+1)N]2. (5)

这就是说，(1)的全部子式，对于给定任意正奇数x，就都是同一地同步地代进(4)和(5)，使方程等号两边分别得

zn = z2zn-2 ={[(N+1)2-N]2+[2(N+1)N]2}[(N+1)2+N2]n-2

=[(N+1)2-N2]2[(N+1)2+N2]n-2+[2(N+1)N]2[(N+1)2+N2]n-2， (6)

xn+yn=[(N+1)2-N2]2[(N+1)2-N2]n-2 + [2(N+1)N]2[2(N+1)N]n-2. (7)

据(6)(7)之值判定：(1)的全部子方程的真相，都是左端大于右端的假等式 .

2>，把所有正整数写作4N+V（N=0、1、2、3、…，V=1、2、3、4），受同余定理制约，y=4N+4和yn皆被排进4路谱而不入2路谱，奇数z、x和zn 、xn 被分别排进1、3路谱. 因此，我们恒可据y=4N+4=2(2N+2)?，构造出(4)所需的底数为：

y=2(2N+2)?＜z=(2N+2)2+12,x=(2N+2)2-12＜z=(2N+2)2+12

x+y=(2N+2)2-12+2(2N+2)?＞z=(2N+2)2+12,并使(2)成立为

[(2N+2)2+1]2=[(2N+2)2-1]2+[2(2N+2)]2. (8)

这就是说，(1)的全部子式，对于给定任意正偶数y=4N+4≥4 ,就都是同一地同步地代进(4)和(8)，使方程等号两边分别得

zn = z2zn-2 ={[(2N+2)2-1]2+[2(2N+2)]2}[(2N+2)2+1]2

=[(2N+2)2-1]2[(2N+2)2+1]n-2+[2(2N+2)]2[(2N+2)2+1]n-2， (9)

xn+yn=[(2N+2)2-1]2[(2N+2)2-1]n-2 + [2(2N+2)]2[2(2N+2)]n-2. (10)

据(9)(10)判定：(1)的全部子方程的真相，都是左端大于右端的假等式.

实际上，1>2>所证明者，由(1)写出正整数底数为2## z-2# y=1,

2## z-2## x=2两种方程的最小数形状，都成为假等式，故(1)的正整数解是空集 .由这一理论再推进之，就是本文下面将要研究的内容 .

　

三、写方程为一般正整数底数，(1)是假等式证

　

将择数条件(4)去掉限制前提，广义为一般性，就有：

∵ z＞x , z＞y , x+y＞z , (11)

∴ z-x=b , z-y=D , x+y-z=a ； (12)

∴ x=a+D ，y=a+b ， z=a+b+D . (13)

因此，若(2)(1)皆有正整数解，就可分别写作

(a+b+D)2=(a+D)2+(a+b)2 ； (14)

n≥3 , zn-xn-yn=(a+b+D)n-(a+b)n-(a+D)n =

=(a+b+D)2(a+b+D)n-2+(a+b)2(a+b)n-2+(a+D)2(a+D)n-2 = 0 . (15)

如此，我们即有

定理１　任意给出变数Ｄ，(14)成立为

(2TW+2T2W2/D+D)2=(2TW+D)2 +(2TW+2T2W2/D)2， 　　　 　(16)

其中，Ｔ是自然变数；当Ｄ＝d2，附变数Ｗ＝d，否则，Ｗ＝Ｄ．

证　给定变数D，化简(14)得

　　　　　　　2bD=a2．　　　　　　　　　　　　　 (17)

据此，令Ｔ是自然变数，写附变数Ｗ≤Ｄ是Ｄ的因数，构造

a=2TW , (18)

b=2T2W2/D , (19)

就使(17)成立，因而代入(14)便得(16)成立．只是我们必须注意到(19)中W2/D的整数性有两重意义：当Ｄ＝d2，Ｗ当取d为值，才不可能漏掉方程的应得互质解组，而取Ｗ＝d，就使(18)(19)具体表a=2Td，b=2T2d2/d2=2T2； 当Ｄ≠d2，只好取Ｗ＝Ｄ，使(18)(19)具体表a=2TD，b=2T2D2/D=2T2D，得其解只不过是某些互质解的Ｄ倍数解而已．证毕．

实际上，从函数的观点看，(16)之三底数，不过是一个较复杂的对应的二元函数组而已．故其解组可列成无限性勾股数数谱阵，与平面坐标第１象限内整点一一映射，如下表所载之示意：

　

给定变数Ｄ及附变数Ｗ之值；勾股数的区划z、y、x；勾股数组对应值：

D=1 W=1

D=2 W=2

D=3 W=3

D=32 W=3

D=52 W=5

z y x

Z y x

z y x

z y x

Z y x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5 4 3

13 12 5

25 24 7

41 40 9

61 60 11

85 84 13

113 112 15

145 144 17

181 180 19

221 220 21

265 264 23

. . .

2? 2? 2?

2?3 2?2 2?

2?5 2?4 2?

2?1 2?0 2?

2?1 2?0 2?1

2?5 2?4 2?3

2?13 2?12 2?5

2?45 2?44 2?7

2?81 2?80 2?9

2?21 2?20 2?1

2?65 2?64 2?3

. . .

3? 3? 3?

3?3 3?2 3?

3?5 3?4 3?

3?1 3?0 3?

3?1 3?0 3?1

3?5 3?4 3?3

3?13 3?12 3?5

3?45 3?44 3?7

3?81 3?80 3?9

3?21 3?20 3?1

3?65 3?64 3?3

. . .

17 8 15

29 20 21

32? 32? 32祝?/P>

65 56 33

89 80 39

32?3 32?2 32?

149 140 51

185 176 57

32?5 32?4 32?

269 260 69

317 308 75

. . .

37 12 35

53 28 45

73 48 55

97 72 65

52? 52? 52?

157 132 85

193 168 95

233 208 105

277 252 115

52?3 52?2 52?

377 352 135

. . .

据定理1就有

定理2 n≥３, 给出任意变数D,(15)不成立,变为实表

(a+b+D)n-(a+b)n-(a+D)n=[(a+b)2+(a+D)2](a+b+D)n-2-(a+b)n-(a+D)n＞0 ． (20)

证 给定任意变数D，据定理１，由(14)左端总是有无限的

(a+b+D)2 =(2TW+2T 2W 2/D+D)2 = (2TW +2T 2W 2/D)2 +（2TW+D）2= (a+b)2+(a+D)2，(21)

使n≥３，(15)的右端得无限的

(a+b+D)2(a+b+D)n-2-(a+b)2(a+b)n-2-(a+D)2(a+D)n-2=

[(a+b)2+(a+D)2](a+b+D)n-2-(a+b)2(a+b)n-2-(a+D)2(a+D)n-2=

(a+b)2(a+b+D)n-2+(a+D)2(a+b+D)n-2-(a+b)2(a+b)n-2-(a+D)2(a+D)n-2＞0．(22)

由(22)证明定理成立．

据定理１、２证明，(1)定义为正整数底数，确实也是假等式．

　

四 写方程正整数z=2a+D,(1)是假等式证

　

(1)若不是假等式，那么，(2)(1)当分别成立为

(2a+D)2-(2a)2 = x2 , (23)

(2a+D)2(2a+D)n-2-(2a)2(2a)n-2 = x2xn-2 . (24)

对于(23)，我们可任意给出一个平方数或非平方数D，并以W代表D的平方根或代表D，以T表变数而构造出

a=TW+T2W2/D ， (25)

一并代入(23)左端而得

(2a+D)2-(2a)2=[2(TW+T2W2/D)+D]2-[2(TW+T2W2/D)]2=

2?(TW+T2W2/D)D+D2=(2TW)2+2?TWD+D2=(2TW+D)2=x2 . (26)

由(26)证明，据任意正整数D皆可构造出a使(23)成立而等价为

(2a+D)2=(2a)2+x2 . (27)

将(24)之(2a+D)2以(27)代替之，得(24)实际是表

(2a+D)2(2a+D)n-2 -(2a)2(2a)n-2=[(2a)2+x2](2a+D)n-2-(2a)2(2a)n-2=

(2a)2(2a+D)n-2+ x2(2a+D)n-2-(2a)2(2a)n-2＞x2xn-2. (28)

由(28)证明(24)是假等式 .

　

五　　据方程底数的几何意义，(1)是假等式证

　

定义方程底数为正整数，将(1)写作整数n≥3，

z2zn-2 = x2xn-2 + y2yn-2 . (29)

据等式择数条件z＞x，z＞y，x+y＞z，判定三底数的几何意义，是代表非等腰三角形的三条边长． 据此，我们即有三种假设．

1> 假设代表非等腰钝角三角形边长，表等式意义是

∵ z2＞x2 + y2 ∴ z2zn-2 = x2xn-2 + y2yn-2 . (30)

2> 假设代表非等腰直角三角形边长，表等式意义是

∵ z2 = x2 + y2 ∴ z2zn-2 = x2xn-2 + y2yn-2 ． (31)

1>2>所表内容，显然是悖理．勿须细述，它们不成立．

　　3>　假设代表非等腰锐角三角形边长，表等式意义是

∵ z2＜x2+y2 ∴ z2zn-2 = x2xn-2 + y2yn-2 ． (32)

就意味，将非等腰直角三角形三边长代表正整数时的下界(z-y=1)构造(5)改写作

z= 2a2+2a+1，y = 2a2+2a，x = 2a+1 ， (33)

不动z、y之长，而将x加长成2a+2+1=2(a+1)+1，就得到了非等腰锐角三角形三边长代表正整数时的下界构造，可由(33)派生为：

　　　　　z=2a(a+1)+1，y=2a(a+1)，x=2(a+1)+1． 　(34)

如此，假设若成立，将(34)代入(1)，等式应成立为

　　　　[2a(a+1)+1]n=[2a(a+1)]n+[2(a+1)+1]n　.　 　　　 (35)

但是，(35)展开得

2n(a+1)n = C1n2n-1[an-1(a+1)n-1]- C1n2n-1(a+1)n-1+…+ Cn-1n2a(a+1)-Cn-1n 2 (a+1)

= C1n2n-1(a+1)n-1(an-1-1)+…+Cn-1n2 (a+1)(a-1)．　　 　 (36)

1>，若(a-1)是奇数，两端有不同被奇数(a-1)整除的矛盾；2>，若(a-1)是偶数，两端有不同被奇数(a+1)n整除的矛盾. 这证明(36)是假等式 . 即证明非等腰锐角三角形的三边长代表正整数，因最小数失解，表等式成立的解是空集，因而(32)因果关系不成立．即证明3>假设也不成立 .

由1>2>3>种假设皆不成立，(1)是假等式得证．