“1+1”脉络的“谱法” 连分级数透视

周明祥  

honestzhang@163.com

  2004，10公布于潜科学网站

歌德巴赫猜想（甲）和费马大定理，都是20世纪最热门的数论话题，它们迷惑得全球数界伤透了脑筋。后者，曾经被请上九天神坛，不过为时不会太久，它还是会回到基础数论中它应到的地方，作者相信它最终也会走进中学生的课本里。如果说费马大定理被神秘是因为受它假象的蒙蔽，使我们丢掉了基础数论所至 。那么，歌德巴赫猜想的被神化，则就是基础数论还不完备造成的。决不是因为现代解析数论还设有发展到更高的水平所至。

在过去的一个世纪里，由于研究大方向的错误，歌德巴赫猜想（甲）曾经被分割得七另八落，也没能拼合出它就究是什么样子，最后得到的结果是“1+2”把“筛法”打得粉碎。这时候，人们这才发现需要认真总结教训了。面对有关专家多次指出，陈景润把现有方法用到了极致，想借“1+2”作梯子爬到“1+1”是不可能的，几十年来轰轰烈烈的“x+x”竞走赛，不管当时认为是多么的了不起的成绩都付之东流了。想证明歌德巴赫猜想（甲）得另起炉灶

失败是成功之母深含的哲理是，失败后必须要深刻总结正反两方面的经验和教训，找到继续努力的方向才能有成功的把握。但是，上世纪失败的主要原因是什么呢？这就众说不一了。最神秘的概念大半是说，只有用现代解析数论才可能凑效，全世界只有二、三十人有能力从事猜想的求证，一、二十年内无望突破。业余爱好者用高等数学基础数论想去证明猜想，真好似想骑自行车到月球……这些看法更加把问题神秘化了。于事无补。  

一    对“筛法”缺陷的评价

  还是来重温“神奇化易是坦道，易化神奇不足提”这句华罗庚的至理格言吧。科学研究的使命就是要通过实践驾驭智慧去揭示事物的简单本质，而不是去延伸和虚幻事物的复杂假象，如果对一些看起来应是简单的问题，进行了不少探索，一时间还是找不到不二法门的开门钥匙，就轻易假设或幻虚为复杂，而不再试试简单的方法，就会垛塞智慧的大门，唯心地迈入岐途。20世纪数论界研究歌德巴赫猜想（甲）失败的跟本原因是错误地选用了理论脱离实际的“筛法”。而不是歌德巴赫猜想（甲）本身有多么复杂。

上世纪70年代，当我重读再版《数论导引》第五章时就隐约地觉得，问题出在老式素数定理的粗糙上。在没有研究合数与素数的脉络关系的情况下，仅据“筛法”所得正整数一定发展阶段上素数的统计数（这种统计是不可能伴随正整数的无限发展而继续），与一些已知的数论发现作类比类推而得，未免理论上难近实际，实践上粗大误差。例如介绍素数分布仍旧是以二项式系数性质证明n与2n间必有一素数，猜想n^2与(2n+1)^2间必有一素数，与质数（即素数）实际分布是n^2与(2n+1)^2间必有二质数，平均n^2与(2n+1)^2间有一对孪生质数分布，误差甚巨。

再版《数论导引》是20世纪70年代最高数论水平的代表作。代表了那个时代最新的数论知识。但是书中对∏（1-1/P）的认识还只是停留在肤浅的概 率理念上。介绍为

∏（1-1/P）发散于0，故素数分布无限。尚无1P=3，∏(1-2,/P)；1P=3，∏(1-2&1/P)；

d＜1P,  ∏（1-d/P）…等基本的概念。  这是符合那个时代的实际水平的介绍．.因为那是以”筛法”为基础来理解素数分布的时代．还没有发现“谱法”这一概念。假若当时已有了本文在此提及的这些理念，歌德巴赫猜想早就被证明了．用不着我辈再来研究了。因此，我们可以这样说，上世纪歌德巴赫猜想（甲）久证不果的根本原因，使不使用解析数论不是关键，关键是要下功夫完备基础数论。

  二＂谱法＂对合数分布法则的表述

  名含有iP质因数的奇合数是iP倍数。名以 iP为最小质因数的奇数是iP首奇数，其中，除去它的首元素iP是质数，又名其余的iP首奇数是iP首合数。据同余定理，iP倍数在奇数中总是以iP为模等距分布，这为我们计算诸iP首奇数分布比，或者说计算诸iP首合数分布比提供了依据。以1P=3，2P=5，3P=7，4P=11，…   诸iP首奇数在正整数中的分布比依次可“谱”为

1P首奇数分布比是1/3 。 表现为从3起，除3 是质数外，奇数集从3^2起计算，3个数分布着1个3首合数。写1-1/3就表除去3首奇数,  奇数集总余奇数是2/3=（1-1/3）；

2P首奇数分布比是1/5（1-1/3） 。　 表现为从5起，除5 是质数外，前余奇数（１-1/3）

中，从5^2起计算，每3*5个数中，平均分布着（3-1）个5首合数。——意思也就是全部奇数集上， 15个奇数中有3个5倍数，其中，有1个是3首合数，只有2个是5首合数。——写1- [1/3 + 1/5（1-1/3）]就表除去3，5首奇数,      奇数集总余奇数是8/15=（1-1/3）（1-1/5）＞ 2/5 ；

        3P首奇数分布比是1/7（1-1/3）（1-1/5） 。 表现为从7起，除7 是质数外，前余奇数

（1-1/3）（1-1/5）中，从7^2起计算，每3*5*7个数中，平均分布着（3-1）（5-1）

个7首合数。——意思也就是全部奇数集上， 105个奇数中有15个7倍数，其中，除去1/3的3首合数是5个，余7的倍数是10个，再除去1/5的5首合数是2个，只有8个是7首合数。——写1- [1/3 + 1/5（1-1/3）+  1/7（1-1/3）（1-1/5）]就表除去3，5，7首奇数,     奇数集总余奇数是48/105=（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）＞ 3/7 ；

4P首奇数分布比是1/11（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7） 。 表现为从11起，除11 是质数外，

前余奇数（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）中，从11^2起计算，每3*5*7*11个数中，平均

分布着（3-1）（5-1）（7-1）个11首合数（其另一重意思此处不再赘述，读者可以

自行验证）。写1- [1/3 + 1/5（1-1/3）+ 1/7（1-1/3）（1-1/5）+ 1/11（1-1/3）（1-1/5）

（1-1/7）]就表除去3，5，7,  11首奇数, 奇数集总余奇数是480/1155

=（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）＞ 4/11 ……

仿以上分谱计算到K（k≥4）项即得

kP首奇数分布比是1/ kP（1-1/3）…（1-1/k-1P）= 1/ kP * k-1∏（1-1/P）  表现为从kP起

除kP 是质数外，前余奇数（1-1/3）…（1-1/k-1P）中，从kP^2  起计算，每3*5*…*kP

个数中，平均分布着（3-1）…（k-1P-1）个kP首合数。写1- [1/3+…+1/kP（1-1/3）…

（1-1/K-1P）]=1-  k∑1/p * i-1∏（1-1/p）就表除去3，5 ,…，kP首奇数,  奇数集总余

奇数是k ∏（1-1/p）=（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）…（1-1/kP） .

  显然，以上诸项iP首分布比1/ iP（1-1/3）…（1-1/i-1P）= 1/iP * i-1∏（1-1/P）之和k∑1/P * i-1∏（1-1/P）与总余奇数k ∏（1-1/p）=（1-1/3）（1-1/5）

（1-1/7）（1-1/11）…（1-1/kP）是数学归纳法之程序轨道也。其中，我们名各项分布比1/iP*i-1∏（1-1/p）是连分数列，名它们之和∑1/p*i-1∏（1-1/p）是连分级数，又名总余奇数∏（1-1/p）是连分余数。三者有关系可表为

  定理１  ∑与∏表n项和与n项乘，i-1, k, k-1表小于n的序数或项数，

1P=3，1P≤kP，   1-∑1/p*i-1∏（1-1/p）=∏（1-1/p）                          （1）

                           证  当n=1，等式两边皆表1-1/3而成立，假设n=k时成立，于等式两边同加

1/ k+1P*k∏（1-1/P）。得

1-[ 1/3 + 1/5（1-1/3）+…+1/kP* k-1∏（1-1/P）+  1/ k+1P*k∏（1-1/P）] =

K∏（1-1/p）- 1/ k+1P*k∏（1-1/P）=  K+1∏（1-1/p）

这就是说n=k+1等式也成立。定理得证。

由以上解析知，合数分布，可以分“谱”，得连分数列．

  三“谱法” 对质数分布法则的表述

  定理2  1P=3，nP≥11, nP^2 ＜2N ＜n+1P^2,  2N之前起码有4/nP

个奇数是质数。

证 由上述“谱法”解折知2N小于121, 合数分布比较稀疏，大于121后，缓慢变 为不规则稠密分布。但分布法则不变，在2N之前的奇数集中，除去n项iP首奇数分布产生n个质数外，又得总余奇数是∏（1-1/P）再无小于nP的iP首合数分布，故全部是质数 。且当nP≥11，∏（1-1/P）之值域稳定发散为   1P=3，nP≥11,

 ∏（1-1/P）=（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）…（1-1/nP）＞ 4/nP 。   （2）

这是因为∏（1-1/P）=（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）…（1-1/nP）=2/3*4/5*6/7*10/11（12/13*16/17*…*n-1P-1/n-1P）*nP-1/ nP 。       

其中，2/3*4/5*6/7*10/11＞4/11， （12/13*16/17*…*n-1P-1/n-1P）*nP-1/nP =

（1/13*16/17*…*n-1P-1/n-1P）（nP-1）* 12/nP 。   而无论有多少项，

（1/13*16/17*…*n-1P-1/n-1P）（nP-1）的值域略大于1而永远不等于2 ，

故（1）之右∏（1-1/p）的值域近似为4/11*12/nP＞ 4/nP是一个发散值域 。

由以上解析证明，2N的奇数集含有两种质数分布：∏（1-1/P）的全部奇数， 和n项iP首奇数分布含的n个质数。两项分布和在正奇数中的分布比， 表现了质数分布比的变化趋势是由一项大于2/3起步，经二项大于2/5，三项大于3/7，到四变为为大于4/11后，就稳定为表1P=3，nP≥11,  ∏（1-1/P）＞ 4/nP。因此，偶数大于121后无论值有多大，其前的奇数中起码有4/nP个以上的奇数是质数。定理得证。

  四“谱法” 对差2正奇数分布法则的表述

  定理3  1P=3，nP≥11, nP^2 ＜2N ＜n+1P^2,  2N之前起码有1/nP对差2正奇数是孪生质数。

证    我们只要把两条相同的符合定义所表的2N的奇数集, 同向错一个数并列，造成同列二数之差皆等于是2 ，就作成了“差2奇数谱”,  如下述示意图

5 7 9  11  13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61…2N-1

3 5 7  9   11 13 15  17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 …2N-3

$ $ 3-  3-  $  3- 3-   $   3-  3-  5- 3-  3-  $   3-  3-  5- 3-  3-  $  3-  3-  7- 3-  3-  5- 3-  3-  $  …

若同列二数皆是质数，它们就是孪生质数，写作”P-P”,  在图下标符号为 $ ；若同列二数不皆是质数，就以它们合数中的最小质因数iP为标志，在图下标符号为 3- ，5- ，7- … ；写数列为ip&h 。仿前述“谱法”原理，该“差2奇数谱”上诸iP&h的分布比依次可“谱”为1P&h分布比是2/3 , 2P&h分布比是2/5（1-2/3）, 3P&h分布比是2/7（1-2/3）(1-2/5),

…  nP&h分布比是2/nP（1-2/3）（1-2/5）…（1-2/n-1P）。据此就得“差2奇数谱”上诸ip&h与”P-P”的分布比,   也是数学归纳法之程序轨道也     .两者对1互余为

1-∑2/p*i-1∏（1-2/p）= 1-[2/3 + 2/5（1-2/3）+…+ 2/nP*n-1∏（1-2/p）]= ∏（1-2/p）。

其中，等式左端级数在3项以下∏（1-2/p）=1/P ,  在4项以上∏（1-2/p）就稳定地发散

为    1/3*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*…*nP-2/nP ＞ 1/nP .                       （3）

据以上解析,  定理得证。

  五    “谱法”对等和2N正奇数分布法则的表述

  定理5  1P=3，1P≤nP,   nP^2 ＜2N ＜n+1P^2,  2N之前起码有

1→4/nP对2N等和奇数是“1+1”分布。

证我们只要把两条相同的3到2N-3的奇数集，  异向齐头并列，就作成了N-2列“等和2N奇数谱”，其同列二数之和皆等于是2N，,  如下述二例谱示意图

2N=208=16*13“等和2N奇数谱”的“iP&h”“1+1”分布中段摘录图示

83    85   87    89   91  93   95   97   99  101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 

125 123 121 119 117 115 113 111 109 107 105 103 101  99   97    95  93    91  89   87   85   83 

5-     3-    3-    7-   3-    3-    5-   3-    3-   *     3-    3-    *     3-    3-    5-   3-    3-    7-   3-    3-    5-         

  2N=210=2*3*5*7“等和2N奇数谱”的“iP&h”“1+1”分布中段摘录图示

83   85    87   89   91   93   95   97   99  101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 123 125  

127 125 123 121 119 117 115 113 111 109 107 105 103  101 99   97   95   93   91   89   87   85 

 *    5=   3=   11-  7=   3=   5=   *    3=    *     *    5=    *     *    3=   *     5=   3=   7=  11-  3=  5=

其中，名同列二数皆是质数为所谓“1+1”质数，在图下标符号为 * ；若同列二数不皆是质数，就以它们合数中的最小质因数iP为标志，并据二奇数集上的iP首合数是否成对立分布在图下标符号为 3=，5=，…（对立分布），3-，5-， …（不对立分布），亦写数列为iP&h。值得特别注意的是，我们通常称“差2奇数谱”的 iP&h是单调分布。称“等和2N奇数谱”的iP&h是二调分布，区别在于前者二奇数集上的iP首合数恒成不对立分布，后者二奇数集上的iP首合数成不对立分布，是有条件的，它要求2N不含iP因数。否则，后者二奇数集上的iP首合数就成对立分布。因此，“等和2N奇数谱” iP+h的分布比的计算在前者的基础上应修正为

1P&h分布比是2 & 1/3 。2N含3因数，2 & 1/3=1/3，不含3因数，2 & 1/3=2/3 ；

2P&h分布比是2 & 1/5（1-2 & 1/3）. 2 & 1/5据2N含5因数否只取一值为1/5或2/5 ；

3P&h分布比是2 & 1/7（1-2 & 1/3）（1-2 & 1/5） 。2 & 1/7仿上二款只取一值为1/7或2/7 ... 

 仿以上分谱计算到n项即得

nP&h分布比是2 & 1/nP（1-2 & 1/3）…（1-2 & 1/n-1P）。归纳之即得“1+1”分布比是

1P=3 , 1P ≤ nP ，1- [2&1/3 +…+ 2&1/nP*n-1∏（1-2&1/p）]=1-∑2&1/p*i-1∏（1-2&1/p）=∏（1-2&1/p）= 1&2/3 * 3&4/5 * 5&6/7 * 9&10/11 *…* nP-2&1/nP ＞ 1→4/nP             （4）

据（4）所表，定理得证。

定理5可验证为——2N=6,  N-2=1,  谱上无1P&h，“1+1” 就是1列数：3 & 3 ；2N=8,  N-2=2,  谱上无1P&h，“1+1” 就是2列数：3 & 5 、5 &3 ； 2N=10,  N-2=3, 1P&h没有进入到谱上，“1+1” 就是3列数：3 & 7、5 &5 、7&3  ； 2N=12=4*3(含3因数),  N-2=4,  1P&h进入到谱上成对立分布，4列数是3 & 9 、5 & 7、7&5、9 &3 ， 1P&h与“1+1”各占一半；N=14,  N-2=5,  1P&h在谱上不成对立分布，5列数是3 & 11 、5 & 9、7&7、9 &5、11 & 3 

故1P&h占2列，“1+1”占3列；…… ；显然，2N含“1+1”分布比的变化趋势，与质数分布比的变化趋势类似，由等于1、大于1/2起步，经2/5逐渐下跌，当“等和2N奇数谱” iP&h有4项后，“1+1”分布比就稳定发散为1→4/nP 。由于（4）取4 项发散值域就稳定，故当2N≥122,   我们只研究偶数含3，5，7因数的情况,  就可概算其“1+1”的含量了。其中，偶数不含3，5，7因数，是含“1+1”少的下界，例2N=208 =16*13，据（4）计算“1+1”分布比是1/3*3/5*5/7*9/11*12/13=108/1001＞1/13，实际分布比是10/102＞1/13；偶数含3，5，7因数，是含“1+1”多的上界，例2N=210=2*3*5*7，据（4）计算“1+1”分布比是2/3*4/5*6/7*9/11*11/13=144/455＞4/13，实际分布比是38/103＞4/13；两例的计算分布与实际分布完全吻合(详情可究上述二谱示意图而得验证)。

总之，“1+1”的分布可总结为偶数越大，“等和2N奇数谱”的列数越多, 1→4/nP 的比分逐步变小，“1+1”绝对含量1→4/nP *N-2逐步增加

  后    记

总结以上经验，令d＜1P，就还有∏（1-d/P）发散于0 。所以，有限个数的连生质数在正整数的分比也是可计算的。限于篇幅，本文只略提及以后有机会再述。

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