追寻费马笔录和费马大定理的真谛

周明祥  

honestzhang@163.com

  2004，10公布于潜科学网站

世界数论史上，有一个比歌德巴赫猜想更为古老更为有趣的“难题”，这就是能不能用基础数论证明自然数n＞2，

xⁿ+yⁿ=zⁿ           （1）           

有无正整数解？

        大约在1637年，被后人誉为“近代数论之父”“业余数学家之王”的法国数学家费马 ,在一本名叫“算术”书的第8问题旁写下笔录，说他发现了指数大于2，一个正整数n次幂，不能分为两个正整数同n次幂之和。但后来他的儿子公布这则笔录时，找不到正式文字稿附出，后又经过一些数学家的探索，也未得到证明。那么，费马到底有没有发现这个证明呢，这不能不引起数学家们的怀疑。所以，对（1）有无正整数解的概念，称谓上就不统一，此说费马大定理，彼说费尔马猜想。

  一  “ 难题”的成因探索

  前辈数学家们普遍地忽略了一个问题。即忽略了费马笔录一定产生在费马证明了

x⁴+y⁴=z⁴                        (2)            

无正整数解之后。只看到了费马证明（2）无正整数解很有新意（创造了无穷递降法），并认为它实际上为证明（1）提供了极大的方便：大于2的指数n,  不是4的倍数，就是某个质数P的倍数.  故不必逐个去证明每一个n,  而只须证明n是质数P（1）无正整数解即可（见华罗庚《数论导引》及再版时70——80年代问世的一类基础数论著作）。这样一来，就不是研究费马大定理了，而是在进行永无了期的（1）的指数拔高赛了。直到20世纪末，才没有数学家继续往这条不归之路挺进了。                 

我们只要仔细地把费马笔录的本来话意zn≠ xn + yn, 与现行的习惯表述xn +yn =zn无正整数解，两相比较就会有如下推测：费马一定多次重温过算术”书的第8问题。他开初的收获是据那里记载的欧基里德写 a＞b＞o是一奇一偶且互质，把

x²+y²=z²                  (3)

 的互质解写作

x=a²-b²    y=2ab    z=a²+b²       (4)     

 创造无穷递降法把（2）写作

(x²)²+(y²)²=z²                   (5)       

然后把（4）代入（5）揭露矛盾而证明（2）无正整数解。

但是，这一证明实在是权宜的。因此，费马总想找一个更简单的证明.  他反复地审视已得的证明，反复地去重温“算术”书，终于发现了更好的妙法。首先，倒将船尾作船头，变方程习惯写法为正整数zⁿ不能二分为正整数xⁿ+yⁿ ,   这就是一个大的飞跃，由此，他可能就得到了不二法门的开门钥匙，因此写下笔录。

 可惜 ，前辈数学家们没有发现这段时间差里，事情已产生了质的变化，仍按习惯写法研究方程，不能和费马走入同一扇门而进不了殿堂。因而不易发现方程的简单本质，便认为它是一个大大的“难题” 。

二    “ 难题”被神秘化的原因探索

  由于不二法门的钥匙已在费马手中，数学家们又不按费马的话意去研究方程，仍然穿旧鞋走老路，当然就不能和费马走入同一扇门而进不到殿堂。按习惯表述费马大定理，给研究方程者的第一映象就是假象和幻觉：∵正整数x²+y²恒对应着等于z²  起码是正实数，∴z²中有正整数解；同理，∵ 正整数xⁿ+yⁿ恒对应着等于zⁿ  起码是正实数，∵ zⁿ中有无正整数解很难判别，怕是有正整数解的可能。U . 杜德利，陈景润等名家就曾认为可能有较大值的解。于新堂也曾撰文认为难于判别。所以，方程（1）给人们打上了深深的烙印：看似简单，实则深奥难测。

除了方程假象的迷惑外，人为的误导也很惊人。20世纪初，很有名望的数学家希尔伯特回答自已为什么不研究费马大定理的话：准备工作就得三年还无望成功。真是如雷轰顶，谁能不惧。其后朗道主持的十万马克重奖求征正确答案，震动了全球数学界，竞无一人中的。一想到这些，怎能不使人畏而止步。直到现在，拿薪水的数学家要去做这件事的话，不能不考虑前途如何？是去与失败为伍丢人现眼好呢？还是保着现有的名声好？这样一来，研究就会基本上失去主力军。特别像中国，1984年的第四次全国数学工作者代表大会，宣布不再立项研究，更加无形使“难题”被神秘化了。主力军撒退了，业余的队伍又能怎么样？1998年2月23日《科枝日报》就发表过一篇题为《数学家尚且无奈  业余者且能称雄》的署名文章，就足以道出了媒体对业余者的评价。

在这样的形式下，谁还相信能用基础数论解决“难题”呢。越是数论功底高，越怀疑用基础数论能解决难题。越认为除了用现代解析数论外，用基础论等于是想骑自行车到月球。这就实际上使人们丢掉了最主要的法宝，造成本来再加一把劲就能见到光明的，却因去争戴解析的高等的头盔，好似孙悟空被念了紧箍咒，弄得来头重眼黑，怎能不把问题越炒越神秘。

三    坚定信心，勇于实践，不怕失败

我年轻的时候在部队当技师，受条件所限，没有更多的业余爱好，就是自学数学，可以说本职工作时间与自学时间基本上是倒置的。不仅把大学的课程学完 ，也研读了不少的数论著作。由于不能脱离阵地，无师可求，无人可切磋，迫使自已养成独立思考的习惯。当然，这些是我有所收获的必备条件。但不是主要因素。主要因素是我有坚定的信心，不信邪，不相信寻些不作为不实践，而只想通过媒体来提高自已的声望，把自已打拌成数论至尊而散布的种种反科学的神坛预言。下决心用基础数论进行研究，不求证到中学生能看懂的证明不罢休。自已的誓言是研究到死以失败告终也不悔，做一个彻头彻尾的顽固不化的愚人。绝对不让上帝的使者，为剥夺广大数学子民们共识费马大定理的扑实真颜的权利，欲把它供进九天神坛而使出的诈术得逞。开始重温了资料后，总觉得什么微分积分，数论解析，白学了，拿不出一件应手武器，还是得去走费马研究的路子，想从勾股数另寻一路，通过乘法分配律去证明它。算运气好，约三年时间打通了这个程序。写出了勾股数的二元函数构造：

t,d∈N, d=D² ,w=D , d≠D², w=d .

x=2tw+d ,      y=2tw+2t²*w²/d,        z=2tw+2t²*w²/d +d .                          (6)

它的全部解（勾股数）与平面坐标第1象限内的整点一一映射；即以d作谱号，全体勾股数可列成勾股数谱阵，如下示意表：

  d=1 W=1  d=2 W=2 … d=22 W=2  d=5 W=5  … d=32 W=3 …  d=55 W=5  … 

x y  z   x  y  z  …  x  y  z    x  y   z  … x  y   z  …  x   y   z   …

T=1  3  4  5   6  8  10 …  8  6  10  15  20  25 … 15  8  17 …  35  12  37  …

T=2  5 12 13  10 24  26 … 12 16  20  25  60  65 … 21 20  29 …  45  28  53  …

T=3  7 24 25  14 48  50 … 16 30  34  35 120 125 … 27 36  45 …  55  48  73  …

T=4  9 40 41  18 80  82 … 20 48  52  45 200 205 … 33 56  65 …  65  72  97  …

T=5 11 60 61  22120 122 … 24 70  74  55 300 305 … 39 80  89 …  75 100 125  …

…  … … …  … … … …  …  … …  …  …  … … … …  … …  …  …  …  …                                                                      

  由示意表使用我们直观地知，任意给出一个正整数d，都有一个w等于d或d的平方根,  据（6）得一谱解使 （3）成立。这就为证明习惯写法方程（1）无正整数解打通了一个大渠道而得，

定理1  （1）是左端小于右端的不等式，无等式性正整数解。，

证   假设定理不成立。那么，应有正整数d+y=z使（1）写作自然数n＞2,  

x²*x^n-2 + y²*y^n-2 = (d+y)²*(d+y)^n-2         (7)

但是,任意给出一个正整数d都首先使（3）成立为一谱无限的

x²+y²=(d+y)²     (8)

揭露（7）方程意义是表∵（8）是正整数等式，∴将（8）左端乘较小量x^n-2与y^n-2，右端乘较大量(d+y)^n-2 就得（7）是一个新等式。这明显与等式各项须同乘等量才仍得等式的乘法分配律矛盾 。据此就判定(7)不是等式，而是右端大于左端的不等式。它右端的量大于左端的量可表为。

(d+y)²(d+y)^n-2=(x²+y²) (d+y)^n-2= x²*(d+y)^n-2 + y²(d+y)^{n- 2}＞x²*x^n-2 + y²*y^n-2          (9)

据（9）证明无d+y=z能使(7)成立.  即证明假设不成立. 定理得证.

四   敢于批判自已，探寻真正的目标

  当沿着用勾股数和二项式定理发现的证明式越来越多，甚至多到30个左右后，我就越来越认为，借二项式定理，圆，椭圆，等等作桥梁所得的证明，不管繁琐与否，都不可能是1637年那个时代应有的发现。也不具备现代数论所要求的普及资格。该批判的还是要批判，“神奇化易是坦道，易化神奇不足提”，遵循和继承华罗庚学风，我们起码应得到与费马笔录内容相近的证明，才能算基本上得到了目的。为此，我们要首先从费马笔录的真实性为起点，再进行研究。费马笔录是写在“算术”一书的第8问题旁边，故不是他首次阅读这里时所写。估计是这样的：他据这里记载的欧基里德写的互质勾股数构造式，证明(2)无正整数解后，觉得该证明太繁琐而无数次审视已得的证明和第8问题，终于悟透了下述的写法

z⁴=  z²*z² = x²*x² + y²*y² =x⁴+y⁴      (10)

才是最成功的。它摆脱了习惯写法的误导作用，摆脱了对勾股数的依赖。也就是说，笔录可能是费马通过自审得到了巧妙方法，定理已成竹在胸怕失灵感写下的备忘录。毫无猜想之态。照(10)的写法和笔录的表述写法，作者有理由认为费马备忘的内容就是下述

定理2  指数n大于2，正整数zⁿ不能二分为正整数xⁿ+yⁿ .

证     假设定理不成立。那么，仿（10）写自然数n＞2,  x,y∈R＞0,  应有z∈N得

zⁿ=  z²*z^n-2=x²*x^n-2 + y²*y^n-2  =xⁿ+yⁿ         （11）

但据勾股定理，z∈N, 都同步地得x,y∈R＞0 ，

z²=x²+y²                               （12）

n＞2 ， zⁿ=  z²*z^n-2=(x²+y²)z^n-2=x²*z^n-2+y²*z^n-2  ＞x²*x^n-2+y²*y^n-2 .     (13)

证明无z∈N能得(11)的zⁿ= z²*z^n-2=x²*x^n-2 + y²*y^n-2=xⁿ+yⁿ

 即证明假设不成立，定理得证。

真数验算：例 5ⁿ=5²*5^n-2=(4²+3²)5^n-2=4²*5^n-2+3²*5^n-2＞4ⁿ+3ⁿ

数形意义验证：以椭圆的短径为直径作圆，由圆周上无限点与直径两端点相连得无限非等腰直角三角形，便得一个巅之不破的真理——  以直径长代表正整数z ，所有非等腰直角三角形的每一对直角边长代表正实数x与y，则只有正整数z²等于正整数x²+y² 和正整数zⁿ大于正实数xⁿ+yⁿ，无正整数zⁿ等于xⁿ+yⁿ .——  可以形象地说，费马大定理是圆的孩子，同勾股定理孪生，与椭圆是近邻和干亲 。