集合的基数辨


 作者:胡桢.   08/12/2002.

2002,8公布于潜科学网站

作者E-mail:hurst@online.sh.cn

1900年,著名数学家希尔伯脱在巴黎数学大会上的著名演讲《数学问题》中列举了二十三个未解决的数学问题,其中第一个就是:

        2ω等于ω1吗?”

换言之,如果存在一系列的基数,按序可列为:ω0、ω1、ω2、ω3...。其中,ω0为可数集的基数,而2ω是实数集R的基数,也是自然数集N的幂集合之2N的基数。

如果有2ω=ω1,则说明紧挨着可数集基数ω0 的是实数集R的基数,在ω0与ω1之间就没有其它的基数了。这就是所谓的连续统假设CH,是康托尔先生首先提出来的。

时有哥德尔先生言道:【若ZFC是协调的话,则ZFC推不出非CH】;与此相反,还有科恩先生言道:【若ZFC是协调的话,则ZFC推不出CH】。换言之,CH问题相对于ZFC是独立的。

何谓ZFC?乃指集合论中的蔡梅罗-弗兰克尔公理系统ZF,再加上一个选择公理。俩位先生在解连续统假设时,都是从理论上予以剖析,全无实践的例证。尽管哥德尔先生的结论与科恩先生的结论,在表述上仅差一个字,但其中的内容却是完全不同的。然而,他们一致的意见是,ZFC对于CH而言,乃是无能为力的。

ZFC公理系统真的对CH无能为力?本文将证明,在ZFC公理系统中,完全有能力解出CH,连续统假设并不成立。

 

关键字:商集合,选择公理,良序化之链。

 

在讲述正文之前,我们先要搞清楚,什么是集合的基数?康托尔先生最初的定义是,若有二个无穷集合中的元素是可以一一对应的,则说明它们是具有相同的基数。譬如,偶数集中的元素可以与自然数集N中的元素一一对应,则这二个集合的基数是相同的,都具有可数集的基数。之后,人们又发现,集合论中的选择公理等价于集合的基数,故而,应用选择公理对无穷集合中的元素进行选择,等价于对集合的基数之研究。本文所采用的方法就是罗素形式的选择公理:【对于不空集合的不交集合X,存在一集合C,它恰好由X中每一集合的一个元素组成。】①

由此,让我们举凡一下,如何利用选择公理对无穷集合进行分割?我们知道,当今之世,对于基数的认识,只局限于可数的与不可数的两种,再无第三种基数可认知。那么,先让我们用选择公理对这二种基数作剖析,以自然数集N和实数集R为例。

 

根据商集合的概念:【所谓划分就是在集M中选定一族非空子集(这一划分的类),使得M中的任一元素属于且仅属于其中的一个非空子集。】②若对自然数集N的元素按最小素约数为分割依据,则可获得以诸素数为标识的互不相交的非空子集的良序化之链:

    π(2)>π(3)>π(5)>π(7)>π(11)>π(13)>……

π表示分割。其中,诸商集化子集中的元素占自然数集N的比例,根据逐步淘汰原则一般有:

        π(pn)=1/ pn (1-1/pi)

例如,π(2)=1/2,π(3)=1/3(1-1/2),π(5)=1/5(1-1/2)(1-1/3),……等等。

根据【设a是任一大于1的整数,则a的大于1的最小正因数q一定是素数,且当a为合数时,必有q 。】③之定理,则在对自然数集N作良序化分割时,凡大于 的素数所归纳的商集化子集中,只具唯一的该素数之元素,故而,根据良序化之链的定义:【在集X的一切非空子集组成的集中,所有由一个元素组成的子集都是最小元素。......

最小条件:偏序集M的任一不空子集X至小有一个最小(X)元素。

最小链条件:偏序集M的元素所组成的任意一个真降链

    a1a2>……>an>……

中断于有限处。换言之,对于元素的任意降链

    a1a2≥……≥an≥……,

必存在这样一个足码n,使链在此处停顿下来,也就是

    an=an+1=……。】④可知,对自然数集N的良序化,中断于有限处。这从埃拉托色尼筛法中可见一斑,当以不大于 的素数为筛子时,筛掉那些具有不大于 的素约数的合数后,留下的是大于 x之间的素数。对自然数集N进行良序化,与埃拉托色尼筛法的区别仅仅在于,良序化之链乃是以中断的形式来划分已归纳的与待归纳的两类,中断点是它们的分界处。

对于已被归纳的诸商集化子集π(pn),它们所占自然数集N的比例,可以有∑π(pn),用1减之,有:

    1-∑π(pn)=1-1/ pn (1-1/pi)=(1-1/p)

也就是说,无穷乘积∏(1-1/p)所表达的是中断后的那些最小元素集的出现概率。由于自然数集N中的素数有无穷多个,故而,无穷乘积∏(1-1/p)是循序渐进的,并无固定的数值。换言之,对自然数集N良序化,其良序化之链没有最大的链,任何一条链总是包含于另外更大的良序化之链中。

至此,我们对罗素形式的选择公理可以理解为:以诸素数为依据的自然数集N的良序化之链,归纳了可以归纳的一些自然数,而与之互补的乃是一些不可归纳的自然数,那些不可归纳的自然数在自然数集N中所占的比例是以无穷乘积∏(1-1/p)来表达。由于无穷乘积∏(1-1/p)是一个循序渐进的数,没有固定的数值,故而,任何时候都可以用此乘积为标识,因此,它是唯一的。而那些可归纳的自然数之出现概率,由于素数的无穷多,故而必须不断地增添新的数据,与无穷乘积∏(1-1/p)相比,缺少了唯一的表达能力。由此可知,在二个表示自然数集N之基数的情况中,我们可以用无穷乘积∏(1-1/p)来表示自然数集N的基数,其是以否定的形式来表达的。换言之,在自然数集N中,应用罗素形式的选择公理,圈定其不相交的子集中具有代表性的一个元素,用与之互素的否定之形式,则可以表示自然数集N的基数。

 

对于实数集R的良序化之链,我们知道,实数集R的基数与自然数集N的幂集合之基数是对等的,因此,我们可以用对自然数集N的幂集合之良序化而表述实数集R的良序化之链。

根据幂集合之定义,自然数集N的幂集合的元素有2N个,其有基数2ω。显然,我们可以按诸自然数为依据,则可获得以诸自然数为标识的互不相交的非空子集的良序化之链:

    π(1)>π(2)>π(3)>π(4)>π(5)>……>π(n)>……

例如,π(1)有元素:{1}{1,2}{1,3}{1,2,3}、……等;π(2)有元素:{2}{2,3}{2,4}{2,3,4}、……等。其中,某一商集化子集中的元素占实数集R的比例,一般地是π(n)=1/2n,则诸商集化子集的出现概率之和为:

        1/2+1/22+1/23+1/24+……+1/2n+……→1

即对自然数集N的幂集合之分割中,所有的元素都是可归纳的。譬如,对自然数123这三个数所构成的幂集合,有元素:{φ}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{1,2,3}共八个,除空集外,所有的元素都是可归纳的。

换言之,对实数集R进行良序化,自然数列是其良序化之链,其与自然数集N的幂集合之差别在于,实数集R中没有空集,因而是连续的。但在自然数集N的幂集合中,由于存在有空集,故而诸元素间是不连续的,而是以“端”的形式独立存在。

 

我们知道,每个无穷集合都是有基数的,可数的或不可数的;让我们再对实数集R的幂集合之基数作一番考察。

由于实数集R的良序化之链可以用自然数集N的幂集合来考察,那么,实数集R的幂集合自然而然地也可用自然数集N的幂集合之幂集合进行考察了。那么,实数集R的幂集合的基数是什么样的?换言之,若用自然数来考察,实数集R的幂集合之基数是什么样的?以自然数集N的幂集合中的元素而组成的幂集合,其有元素:

        {{1}}, {{2}}, , {{1},{2}}, , {{1},{2,3}},

……等等。根据选择公理,同样地可以用自然数123、…等为依据。分割上述的元素让元素属于且仅属于互不相交的某一不空的子集中,其商集化的子集所组成的良序化之链也具有:

        π(1)>π(2)>π(3)>π(4)>…>π(n)>…

这样的形式。而这些商集化的子集,在全域中所占的比例也是:

        1/2+1/22+1/23+1/24+…→1

即在自然数集N的幂集合之幂集合中,其元素也是全部可归纳的。简言之,自然数集N的幂集合中的元素完全可以一一对应自然数集N的幂集合之幂集合中的元素,因为它们的商集化子集是一样的,具有无穷多个,而且商集化子集中都具有无穷多个元素。显然,无限构成的自然数集N的幂集之幂集,再幂集,只能有一个基数,并不存在任意集合的基数小于其幂集合之基数的康托尔定理。换言之,无穷集合的基数根据鸽巢原理,是由其基本的单元而确定,并不会随幂集合的阶而无限的升级,因为选择公理是需要基本元素的(它恰好由X中每一集合的一个元素组成)。故而,所有以自然数为选择对象的良序化之链,自然数列是其中的最大之链。由此可知,以自然数为基本元素的任意组合,其基数介于自然数集N与实数集R之间,决不会出现大于实数集R的基数。

以往之所以对于无穷集合的基数不能确定,并非是由于那些无穷集合的基数不能分辨,乃是由于仅仅用自然数集N中的元素去数。我们知道,自然数集N是所有基数中最小的一个,以此为测度,是无法揭示比其大的基数之情况,数来数去,数出的结论只能是可数的与不可数的二种。如果我们将测度扩大为以实数集R去考察,那么,介于自然数集N与实数集R之间的无穷集合之基数,也就昭然若揭了。

 

其实,以实数集R作为测度,在数学上早已有之,对随机事件作概率上的统计,就是用实数集R为测度的。既然如此,为什么就不能用实数集R为测度对有规律的自然数之组合作概率上的剖析?让我们以加法关系中的组合情况为例,考察一下其中的基数问题。

 

M为任意充分大的一个数,以加法关系M=a+b赋予,则有:

    M=1+(M-1)=2+(M-2)=……=M/2+M/2

由于在M=a+b中,当a→∞时,无法再赋予b以什么自然数,使得M=a+b之式子不能成立。因此,在自然数集N的区域中,一旦M被确定,赋值也就是有限的,是无法反映出加法关系在无穷大处的面目。所以,必须用蔻尼定理中的共尾序数的概念赋值于b,即以

2=1+(2-1)=2+(2-2)=……=+

表之。

根据唯一分解定理:

    M=p1α*p2β**psγ

可以有公式:

    M=np=(n-m)p+mp1mM/2

即凡与M的素约数p有公约数的自然数,均可以在同一个a+b元素中构成相加。而p的倍数,无论是在a中,还是在b中,都是每隔p之值而出现一次的。因为是在同一个a+b元素中相加,且是每隔p之值而出现一次,则在M=a+b中,其有出现概率1/p;而与之互素的元素则有出现概率1-1/p。我们将根据素数p,p|M所归纳的元素称作为特征H(p)

根据剩余类环的公式:

    M=nq+r=(n-m)q+mq+r1mM

即凡与M的素约数没有公约数的素数q之倍数:(M,q)=1,均是不可能在同一个a+b元素中构成相加的,(n-m)qmq的位差r。而q的倍数,无论是在a中,还是在b中,也都是每隔q之值而出现一次的。因不能在同一个a+b元素中相加,故在M=a+b中,每隔qa+b元素,会出现两个具有素因数q的倍数,一个在a中,一个在b中。所以,对于q的倍数,在M=a+b中,有出现概率2/q;而与之互素的元素则有出现概率1-2/q。我们将与M没有公约数的素数q,qM(符号""表示不整除)所归纳的元素称作为剩余H(q)

由于公式M=np和公式M=nq+r已将加法关系M=a+b中所有a+b元素穷尽,所以,在M=a+b中,只具有特征H(p)和剩余H(q)这样两种情况的子集。根据概率论中的乘法定理:【两事件之积的概率等于其中一事件的概率乘另一事件在“第一事件已发生”这条件下的条件概率。】⑤可知,与特征或剩余互素的元素之系数是可乘积的。

设在M=a+b中不大于 的素数,有s个素数为特征,t个素数为剩余,则在M=a+b中,与这些素数互素的元素有出现概率:

    p(1,1)/(M/2)= (1-1/pi) (1-2/qj)    pq

从上式可以看出,当M为奇数时,因素数2不是特征,则有:

12/2=0

系数中有零因子,故p(1,1)=0。当M为偶数时,由于1-1/p1-2/p,且t→∞时,因此,在所有的特征中的无穷乘积之系数中,于M=2n时的系数之值为最小:

p(1,1) /M/2=1/2(1-2/q)

即当M=2n时,具有p(1,1)性质的元素最少。展开乘积,p(1,1)的个数有:

        M/2*(1/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)

        *(15/17)*(17/19)*(21/23)*...*({p-2}/p).

将后一因式中的分子与前一因式中的分母相约。由于在系数中,若ij,则有pj-2pi,即后一分式中的分子之值大于或等于前一分式中的分母。根据"每一个不大于M的合数都有一个不大于 的素约数"之定理,系数中最大的素数之值是不大于 的;于是,将后一分式的分子与前一分式的分母相约,保留所谓的最后的分母pn,则有:

        p(1,1)(M/2)*(1/2)*(1/pn)(M/4)*(1/ )= /4.

即任取一充分大的偶数M,表为两个奇素数之和的个数不少于 /4。当M→∞时,则有lim /4→∞。

让我们对M=2n时的加法关系良序化,显然,由于除了由素数2所归纳的商集化子集与自然数集N中商集化子集一样,其它的最小素因数所构成的商集化子集中,都有二个互不相交的子集,故而,其良序化之链有:

    π(2)2π(3)2π(5)2π(7)2π(11)2π(13)>……

简言之,由于在加法关系中,具有素约数q且属于剩余的元素,每隔qa+b元素会出现二个,比之在自然数列中具有素约数q的元素每隔qa+b元素只出现一个要稠密得多。当集合为无穷时,诸商集化子集中的元素都有无穷多个,自然数集N中的元素只能与其中的一个作一一对应,对于另一个则没有元素与之对应了,可知,在加法关系中的元素之基数大于自然数集N中的元素之基数。而从诸系数中也可知获知,在加法关系M=a+b中,若M为偶数,其良序化之链中的最小元素之出现概率不等于零,因此没有最大之链。

将自然数集N的良序化之链中的最小元素集之出现概率与加法关系中M=2n时的良序化之链中的最小元素集之出现概率作比较,有:

    1/2(1-1/p)1/2(1-2/p)   p2

从中可知,介于自然数集N与实数集R之间的无穷集合之基数,若最小元素集的出现概率越大,则其基数越小,反之,则其基数为大。

 

显然,无穷乘积∏(1-1/p)只是无穷乘积∏(1-k/p)  kp系列中的一个;加法关系中的无穷乘积 (1-1/pi) (1-2/qj)尽管有无穷多个,但也只是系列中的一部份。由于无穷乘积系列中元素都具有循序渐进之性质,没有固定之值,所以,它们都是超限数。

我们知道,基数间是可以比较的,也就是说,若以无穷乘积系列来表示集合的基数,则应该也是可以比较的。但继无穷乘积∏(1-1/p)之后的无穷乘积是什么?却不能确定。因为当qp时,有1-2/q1-2/p,而素数有无穷多个,也就无法确定其最大的1-2/q之值。然而,如果我们将无穷乘积∏(1-k/p)系列中之k的数值都定为k=p-1,则有1-k/p=(p-p+1)/p=1/p,也就是说,乘积的分母是无穷多个素数,而分子等于1。之后,再将其中的一个因式中k的数值定为k=p-2,则有,1-k/p=(p-p+2)/p=2/p,也就是说,乘积中的分母是无穷多个素数,而分子等于2。以此类推,可知无穷乘积∏(1-k/p)  kp系列之集合中的元素是可数的。

应用选择公理可以很简单地就将集合的基数问题揭示,缘何哥德尔先生与科恩先生要说CH问题相对于ZFC是独立的呢?由于科恩先生所用是外模型的方法,故而,本文只对哥德尔先生的内模型的可构成性公理进行反思;因为只要在ZFC系统中推出了CH之解,则科恩先生的外模型方法也就没有必要再提及。

哥德尔先生在解CH问题时,构筑了八个函数,以叙述有序对<r,s>,且将它们放置于直积集合N*N中,然而采用一一对应的方法使直积集合N*N中的有序对<r,s>映射于自然数集N;即建立了一个双射函数

    J(x,y)={imax(x,y)}(2i+1)+y, yx时;

    J(x,y)={imax(x,y)}(2i+1)+x+y, xy时;

从而得出CHZFC系统不会产生矛盾。

诚然,以哥德尔先生的方法,完全可以无一例外地获得这样的结论,因为哥德尔先生是用自然数去数实数集R的基数。我们知道,用自然数去数基数,所获得的结果只能是可数的与不可数的两种,再也数不出第三种基数。将有序对<r,s>通过J(x,y)函数与自然数列相对应,获得123、……之序数也就成为必然的。因为对实数集R进行商集化分割,依据罗素形式的选择公理,自然数列构成了商集化子集中的代表性数字。但其是否真正的反映出了CH的实质性问题?显然没有。欲知CH问题是否成立,正如哥德尔先生的不完全定理所言的那样,不能从实数集R自身中寻找,而是应该从介于自然数集N与实数集R之间是否存在其它的基数中寻找。

我们从加法关系M=a+b中知晓,凡与M互素的素数,在加法关系中都有二个不相交的子集,也就是说,尽管这些子集中的元素最小素因数是相同的,但它们间的交集却是空集。集合中存在有两两不相交的子集,但它们与其它的子集却是有交集的;在作商集化的分割时,这两两不相交的子集也就衍生出了许多不相交的子集。譬如,设有二个具有两两不相交的集合:a1a2b1b2,那么,有a1b1≠φ,a1b2≠φ,a2b1≠φ,a2b2≠φ,但这四个子集彼此间却是不相交的。以此类推,可知n个具有两两不相交的集合,可以衍生出2n个彼此间并不相交的子集。

由此可知,加法关系尽管只是简单地将二个数字相加,但对它们的分割却远比自然数列要复杂得多。换言之,在加法关系M=a+b中,其中的子集远比自然数列中的子集要多得多,用自然数去数,是无法将情况数明白的。我们可以用自然数去数有理数集,因为有理数集与自然数列具有相同的基数;也可以用自然数去数实数集R,因为实数集R的良序化之链是自然数列,如哥德尔先生那样,获得【若ZFC是协调的话,则ZFC推不出非CH】的结论;但是,对于那些介于自然数列N与实数集R之间的无穷集合,用数的方法是无法予以揭示的。

扩大测度的范畴,以实数集R中的元素为度量,将那些待定的无穷集合与实数集R作比较,也就可以分清这些无穷集合中的情况。我们知道,概率是以区间[0,1]中的实数为依据,衡量待测事件的比例,因此,应用概率是考察那些无穷集合的有效方法。从概率论中可知:【2:对必然事件Up(U)=1。……。4:与事件A对立的事件 的概率等于p( )=1-p(A)。……。5:不可能事件的概率等于零。】⑥显然,用概率来考察集合的基数,就可以将小于实数集R的无穷集合的基数昭然若揭了。因为这些集合的基数都小于实数集R,也就是说它们的概率不可能等于1。从对加法关系的基数之考察中可见一斑,在加法关系M=a+b中,那些待测的无穷集合,除了奇数外,它们的出现概率都不等于1,全都有这么一点点超限数的差别。换言之,这些超限数的差别,正好揭示出了这些无穷集合的基数之情况。

 

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 (1) 张锦文. 集合论与连续统假设浅说. 上海. 教育出版社. 1980.

(2)   [苏联] 库洛什 一般代数学讲义 刘绍学译 上海 科学技术出版社 1964

  (3)   潘承恩 素数分布与哥德巴赫猜想 山东 科学技术出版社 1978

 (4)   [苏联] 库洛什 一般代数学讲义 刘绍学译 上海 科学技术出版社 1964

 (5)   [苏联] 格涅坚科 概率论教程 丁寿田译 北京 人民教育出版社 1963 13次印刷

(6)   [苏联] 格涅坚科 概率论教程 丁寿田译 北京 人民教育出版社 1963 13次印刷