界 壳 论 进 展 (6)

界壳理论中的数学问题  

曹鸿兴

caohx@sina.com

2003年3月公布于潜科学网站

当今，一个新的学科要立于不败之地，除了提出新概念及其学术框架外，必须建立起它的数学基础。界壳论也一样，在发展它的描述性理论外，必须开创自己独有的数学理论。这些理论根植于当代数学之中，又要生长出新的分支。例如，分形及其理论的发展历程为界壳论的数学理论提供了范例。本文就界壳论的数学问题提出若干思考。

1       逻辑推理

界壳论运用演译法从形形色色的界壳现象，如城墙、国界、黾壳、台风眼壁、因特网中的防火墙等，归纳出系统周界的一般规律，因此无疑它可以运用形式逻辑和数理逻辑来进行研究，反过来，也可能从界壳规律中吸取营养来发展逻辑学。例如三段论中的大前提P和小前提Q就是一个界壳套, 结论则是两者间的置换-交换的一种形式.

2 三体问题

我们将系统分为系里和周界两部分，分别记为I和J，环境记为E，系统为S。设论域为U。则有

                                                             （1）

由此可见，通常研究的是两个对象S和E，现在研究的是三个对象I，J和E，也就是二体问题变为三体问题，由于I 和 J 又属于同一个系统，J 要受制于I, 因此这又是一个特殊的三体问题, 众所周知, 在物理中, 三体问题是个至今进展很少的难题, 现在加进了象界壳这样很特殊的第三体, 问题的复杂性自然大大增加。

     3  与集对分析的关系

显然(1)式在形式上与集对分析表达式

             µ=a+bi+cj

有共同之处,即在集对分析中也是讨论三元问题, 就是同、异、反三元. 就此而言,界壳理论与集对分析有着相同的研究对象,可谓同工异曲.可以说,界壳论是集对分析的一个理所当然的应用场所,反之,集对分析也将从界壳论中获取发展的养分.

由于界壳J是系统的一部分,因此集对分析应用到界壳论时,联系数的表达式可写为

             τ=I+Ji+Ej=I+(S - I)i+Ej                              

将(1)代入

             τ=I+(S -I)i+(U - S)j                                              (2)

当论域确定时,τ就成为系里I和系统S的联系数.若要着重讨论界壳的作用,则有表达式

             τ=(S -J) + Ji +(U-S)j                                             (3)

当U确定时,τ是系统S与界壳J的函数.也就是说,当联系数应用到界壳理论时将有它的独有形式.

4边值问题

在数学物理方程中有三类边界条件, 分别对应于三种不同的情况. 但这些边界条件都蕴含地假定了物理量经边界的流动是不受限制的. 而实际上任何系统的边界都会受到特定条件的约束, 或者说在边界设置了开关, 因此, 在某些场合, 就要研究界门控制动力学. 例如对第二类边界条件就可以写为

                                                          (4)

式中u为系统的状态变量, x空间坐标, t为时间, 为开关函数, 最简单的开关函数可设为

=1，当 <C

=0 ，当 ≥C

式中C为视所研究的问题而加以给定的值. 类似的思路己在Logistic模型中研究^[3] , 在该模型中加进了开关函数, 然后进行映象计算, 得到了与原Logistic模型很不相同的结果, 发现如类Feigenbaum数的无理数θ=1.01……. 开关边界条件的引入不但客观上是需要在物理、工程中研究的问题, 而且在理论上提出了新的研究课题.

5 边值反问题

对偏微分方程系统除给定初值外还须给定边界条件.例如对扩散方程                            

                                            （5）

式中λ为扩散系数，在区域G:[0≤x≤1, 0≤t≤T] 内给定:

初始条件:u(x,0)=f(x), (0≤x≤1，t=0),                                  （6）     

边界条件: u(0,t)=g(x), (0≤t≤T)                                     （7a）

                u(1,t)=h(x), (0≤t≤T)                                     (7b)

  偏微分方程系统涉及空间场随时间的变化, 除少数方程外均没有解析解, 只有通过数值计算来求解.

   所谓边值反问题，就是若己知制约系统变化的方程，如己知方程(5) 和初始条件（6）以及对系统的观测序列x(t), 求存在怎样的边界条件, 才会使系统有x(t) 序列发生. 这

类问题有重要的现实意义. 例如一个国家要组织多大规模的军队才能保卫自己? 既能卫护本身的安全和独立, 又能确保本国经济发展和人民的福祉. 在因特网上的计算机或用户其安全性要提到什么程度? 或者说, 防火墙该防些什么? 至今对边值反问题的研究甚少, 从界壳论来研究这一问题会产生新思路.

 6 界扉集合

从界壳论的基本构思出发，自然会想到创立一种新的集合，为界壳论奠定数学基础。但这是一件十分困难的事。下面提出的界扉集合只是一种初步尝试。

设U为论域, φ是U到实数区间[0,1]的一个映射, 称

A={ (u,ǔ)Iφ(u,ǔ,λ) }, u,ǔ∈U

为论域U上的一个界扉集合, 称φ(u,ǔ,λ) 为u,ǔ关于A的扉度. ǔ是A的界元, 分隔集合A与环境E; λ为参数, 当λ表示空间时, 由λ表征u,ǔ的空间位置. 当λ表示时间时, 由λ表征u,ǔ随时间的变化.

   界扉集合的运算不妨设为

I 并运算: C=A∪B, φ_C =max(φ_A , φ_B )

II 交运算C=A∩B, φ_C = φ_A•φ_B

III补运算C=A^c      φ_C =1-φ_A

这里 “界扉”是一个杜撰的词, 意为系统周界上有司开关的门扉.

7 开口分形

海岸线是分形的典型实例, 分形启发自不同尺度海岸线的自相似. 但当人们沿着海岸线考察一番, 就会发现海岸线上有大小不等的河流入海口, 也就是海岸线是有缺口的闭曲线. 那末我们自然可以定义一种有开口的分形. 显然这是界壳论基本观点的应用, 即系统周界上必须存有界门.

8 非定界壳

非定界壳是指用随机论、模糊集理论等研究的非确定性界壳。模糊界壳己作过初步研究^{[ 4 ]}，尚需进一步深入研究。应该说，用随机论来讨论界壳也是饶有兴趣的。能否用粗集理论来研究界壳问题也是值得探讨的^[5]。

9 界壳拓扑

自然界和人类社会中有形形色色的界壳，除了象城墙、房子这类界壳有规则的几何形状外，其形状是千奇百怪的。例如青蛙卵呈椭圆形，蝌蚪呈鱼形，而青蛙为四足动物，其外形变化就是构思界壳拓扑的原型。

10 应用中的数学问题

当界壳论应用到不同领域时就会产生许多新的数学问题，例如若用界壳论讨论宇宙的边界问题时，不但对宇宙学带去新意，还会产生新的数学问题。又如可以将界壳作用视为一特殊的控制或约束, 就可以与控制论相互渗透,共同提高.

参考文献

1.曹鸿兴，系统周界的一般理论–––界壳论，北京：气象出版社，1997.

2. Cao Hong-Xing, Modelling of a system boundary, Kybernetes, 1995,24(6), 44~49.

3.封国林、曹鸿兴，开关型Logistic模型, 计算物理,2001,18(2), 189––192.

4. 曹鸿兴, 模糊界壳–––系统的模糊周界,模糊系统与数学,1992,6(增刊),78~79.

5.曾黄麟, 粗集理论及其应用, 重庆大学出版社,1998.