10. 如何优化赌球的下注比例

--《股市幸存者如实说》第二章第10节。 带完整公式电子版见作者网页:http://survivor99.com/lcg

 

假如赌球的盈亏只有两种可能,赢或者亏,那么用凯利公式优化下注比例就行了。如果有三种可能,但是其中打平不赢不亏,则也可以简化为盈亏两种可能,但是要用到我的书里介绍的优化投资比例公式[1]。如果三种盈亏都不是0那么我们需要通过一元二次方程求解最优投资比例。

关于欧洲盘

例如皇马主场对拜仁,欧盘开出为主队2.25(包括本金的赔率)、平局3.00、客队3.00这就是说,你可以选择三种结果中的一种下注。选第一种,即赌主队赢,则赌对了赢利2.25-1=1.25(连本带利2.25)。选第二或第三种,赌对了赚3-1=2倍。赌错了都是输1倍,

我们用R表示赔率,用r表示赚的比例(简称:赢利率),则R=1+r

不管你选三种结果的哪一种,都只有输赢两种可能。所以我们可以用凯利公式优化下注比例。凯利公式是:

KP-(1-P)/r

(1)

其中K是最优下注比例,P 是赢的概率,1-P是亏的概率,r是赢利倍数,r=R-1

比如,你预测主队赢的概率是0.5K0.5-0.5/1.25=0.1=10%。这就是说,你把你所有资金的10%拿来赌主队赢,是最优方案。

凯利公式的前提是假设你面对类似的赌局赌无数次。下注比例大于K,则风险较大,欲速不达;小于K则赢利太慢。

假设K=0,可以推导出对你有利的胜负概率。即由

0=P-(1-P)/r

可以解得

  P1/(1+r)=1/R.

(2)

比如主队赔率是R=2.25。则有P=1/2.25=0.4=40%。这就是说,主队赢的概率超过40%,才值得你下注主队赢。

假如我们再用公式K=1/R计算平局和客队赢的概率,你会发现,三个概率分别是0.4440.3330.333相加等于1.11>1—— 这是不可能的。

原来庄家这样设计,是为了保证返还率在1以下,比如0.9。返还率是指:平均说来,庄家支付相对收入的比例。

假设三种下注返还率相同,都是F 三种事件的概率(即庄家预测的概率)P1P2P3,三种赔率是R1R2R3。那么,就有:

                         

(3)

由上式和P1P2P31可以推导出

 

(4)

把上面例子中三个赔率带进去,可以算出F1/1.111=0.9

庄家预测的概率就是P=F/R,对于上面的例子,可以算出庄家预测的三种概率是:

比较由公式(2)算出的概率,可见,赌徒预测的概率大于庄家预测的概率1/F倍时,下注才是合理的。否则应该放弃下注。

关于亚洲盘

欧洲盘是三种下注,每种下注只有两个结果:输和赢。但是亚洲盘只有两种下注—— 主队赢还是客队赢,每种下注一般有三种结果。比如:输,和,赢; 输,输一半,赢;输,赢一半,赢。

两个典型的赌局如下:

 

赌局

主队

贴水

盘口

客队

客队贴水

1

A

1.05

一球(1)

B

0.80

2

A1

1.0

一球/球半(1/1.5)

B1

0.90

 

其中贴水就是上面的盈利率r=R-1

盘口表明让球和盈亏规则。如果是一个数字那就是让球数,少于它则输,多余它则赢,等于它则平手—— 不赢不亏。如果是两个数,左边的数表示让球方赢多少球时,赌它赢的人输一半,低于这个数就全输; 右边的数表示让球方赢多少球时,赌它赢的赌客赢一半,高于这个球数就全赢。因为半球不可能发生,而那两个数中总有一个带有半球(.5)所以不管下注谁赢,都有三种输赢可能。

常见的亚洲盘盘口有下面几种:

 

盘口

盘口的数字表示

解释(假设赌让球方赢)

平手

0

平开,庄家预测双方获胜几率一样

平手/半球

0/0.5

打平时输一半,赢一个球时全赢,输一球时全输

半球

0.5

赢球等于或超过一个时全赢,否则全输

半球/一球

0.5/1

平或负时全输,赢一球时赢一半,赢两球时全赢

一球

1

赢一球算平,少于一球全输,多于一球全赢

一球/球半

1/1.5

赢一球时输一半,少于一球全输,赢两球时全赢

 

盘口只有一个数字,而且是非整数,比如0.5时,盈亏只有两种可能,显然可以使用凯利公式优化下注比例。其他都有三种盈亏可能。不能使用凯利公式。

下面我们用P1P2P3表示一种下注的三种结果发生的概率,r1r2r3表示相应的赢亏。

当盘口只有一个数字(01 2……中的一个)时,如果我们赌让球方(主队)赢,则三种可能结果及其概率和盈亏是:

1) 赢,概率是P1r1=让球方贴水;

2) 平手,概率是P2r2=0

3) 输,概率是P3r3=-1(亏一倍)

那么,期望收益就是:

                           

(5)

这时候,我们可以用我在《投资组合的熵理论和信息价值》1一书中提供的最优比例公式得到最优下注比例:

                            

(6)

如果q*小于或等于0那么就应该放弃下注。要使q*>0,必须E>0也就是

                           

(7)

上式就是判断是否值得下注的条件。

如果盘口是两个数字,r2就不再是0。如果左边是整数P2表示亏一半的概率,

r2= -r1/2 如果右边是整数,P2表示赚一半的概率,r2= r1/2  r3还是 -1

这时候没有办法用凯利公式或者我以前提供的最优比例公式,但是可以通过求解一元二次方程得到最优比例。

假设一种投资或者赌博有三种可能盈亏,则平均回报(1+平均复利)是:

                           

(8)

现在要求使R达最大的q。我们把R换成logR

                  

(9)

运用微积分知识,我们知道当

                              

(10)

 

RlogR有最大值。将r2 = r1/2(假设存在赢一半的情况)r3= -1 带入上面式子,整理得:

这是一个一元二次方程。令

于是可得一元二次方程的标准形式:

                                   

(11)

如果存在输一半的可能,则用- P2代替P2,其他不变。

上面方程(11)可能无解,如果有解,则有两个根:

我们分别把q1q2带入(9),看哪个使logR较大,使logR较大的根就是我们要求的最优投资比例q*

判断盘口有两个数字赌局是否值得下注,也要看根据自己预测的概率和庄家的贴水算出的期望收益E是否大于0,如果E小于或等于0就不应该下注。

关于分散下注

我们能否把不同的赛球结果当作不同的证券,用投资组合的方式分散下注?

初步研究表明,对于欧洲盘,同时下注于赢,平,输三个中的两个是可以的,下在三个上面就不合算了,因为自己输给自己了,另外还要付给庄家费用。对于亚洲盘,同时下注于两方也是不合算的。但是如果两个庄家开出的赔率不同,或者一场球的亚洲盘和欧洲盘显示的庄家预测的概率相差较大,那么我们就可以对冲下注—— 一边赌A队赢,另一边赌B队赢。两边的下注比例应该根据我们的概率预测而定。因为一般说来,庄家之间的盘口误差不会超过1F。对冲下注相当于利用庄家之间的误差提高返还率。要赢钱还是要靠概率预测。

 



[1] 《投资组合的熵理论和信息价值》,参看http://survivor99.com/lcg/books/portfolio/index.htm