§6.4差运算（-法）

把广义集合A用它的真子集B去减得到的广义集合称为它们的差。其运算等同于它们的对应的多项式的减法运算。记为

A-B=C

例如A={3苹果+2桃子}，B={苹果+桃子}，

A-B=C={2苹果+桃子}

医院的药房里的不同品种的不同数量的药构成了一个广义集合，一个个的患者来拿药，药房的药就在减少。每个患者拿走的药品就是对原药房药品的广义集合的减法。患者的药单上如果有医院没有的药，医院就拿不出对应的药来。所以减去的广义集合必须是被减的广义集合的子集合。

例如

A={10苹果+5桃子}，B={3桃子+2梨子}

则交运算得到的广义集合C是

C={（5+3）桃子}={8桃子}

交运算显然满足交换律和结合律。即

§6.6多元广义集合

6.6.1原始列表

对全学校1000个学生做一次身高和体重的调查，以编号代替学生姓名，可得一个有三列的表。

表6.5 1000个学生的身高体重表

表的第1、2列是学生身高的广义集合的原始列表。而第1、3列是学生体重的广义集合的原始列表。根据前面的讨论，不难利用它们整理出两个广义集合的分布函数（表或者多项式）。

但是有3列的这个表也可以回答另外一个问题：不同身高体重的学生各有多少。在这个问题中其标志就不再是一元（维）的变量而是两元（维）的变量了。

6.6.2表示方法

对于学生的身高体重的二元广义集合，如果其身高（标志x）有x₁, x₂,…, x_k 个标志值，而体重（标志y）有y₁,y₂,…,y_l个标志值,我们可以列一个二元的表，而且可以根据原始列表统计出不同的身高和体重的学生各有多少（统计的办法就是合并同类项）。

表6.6 不同身高体重的学生各有多少

这个表显然也可以用一个矩阵的形式给出。另外，多元广义集合的多项式应当写成

A={∑(个体个数)（多元的标志值，量刚）}

把身高1.5米（x_i.）而且体重27千克（y_j）写成x_i.y_j的形式。于是二元广义集合的多项式应当写成

（6.3）

这里的n_ij 是身高为x_i 体重为y_j 的学生的数量。它也就是矩阵形式的广义集合的对应元素。

我们见惯了学生的成绩单（列着很多课程的分数）。成绩单是什么？从现在的观点看每个成绩单是一个个体（学生）的标志值这个矢量的各个分量的值。每年参加高考有300万学生。把他们统一编号以后列出每个学生的每门课程的分数。我们就得到了一个有六门课程（高考考六门课）分数的多元的广义集合的原始列表。这里的六门课程的分数就是六元（维）的标志值的6个分量。

二元（多元）广义集合是从两个（多个）侧面（用不同的指标、标志）分析相同的一批个体。

个体同种、标志一致（在和运算部分有解释）的（多个）不同的多元广义集合的并、差以及交的运算可以与一元广义集合的对应运算同样地定义。而其对应的多项式的规则显然是与一元的广义集合是相同的。例如A、B两个学校分别得到了学生的身高体重的广义集合分别为

A={∑∑n_ijx_iy_j}，B={∑∑m_ijx_iy_j }

那么把x_iy_j相同的项（即多元的标志值相同）的系数相加（合并同类项）就得到了它们的和（并）。即

C={∑∑(n_ij+ m_ij)x_iy_j } （6.4）

利用二元广义集合的原始列表不仅可以求它的二元分布函数（矩阵或者多项式）也可以求对某一个标志或者另一个标志的一元分布函数（例如可以求学生的身高的分布函数或者体重的分布函数）。这种一元的分布函数可以直接用原始列表求（合并同类项），也可以利用二元分布函数计算出来。多元分布与一元分布的关系与概率论中的联合概率分布与边缘概率分布的关系类似。我们称这种来自多元广义集合的一元广义集合为该多元广义集合的边缘广义集合、称多元广义集合的这种一元函数为其边缘分布函数(如果是n元广义集合,就应当有n个一元的边缘分布函数)。

§6.7积运算（×法）

现在分析广义集合的乘法运算的含义和办法。对广义集合的乘法运算有几层含义。

6.7.1数与广义集合的乘积。

据此，一个广义集合（如A）与一个正数m的乘积（如5A）对应一个新的广义集合，它的各个分布函数值为原广义集合的分布函数值的m倍。用多项式乘法表示就是正数m与广义集合A相乘，得到的广义集合的多项式的每一项的系数都是原来的系数乘上该正数。

以上分析可以推广到更一般的情况例如l,m,n是A、B、C三个广义集合的对应的系数，它们都是正数，就有

lA+mB+nC=D

老板决定把他的A，B，C三个分店的每种商品都抽出20%送到新成立的D店去。D店的商品显然可以用这个公式计算出来（l=m=n=0.2）。

6.7.2广义集合与广义集合的乘积

两个广义集合A，B的多项式依照代数学的规则做乘法×，就得到一个新的多项式，它对应的广义集合C被称为A，B这两个广义集合的乘积。即

C=A×B

这里

A={n₁x₁+n₂x₂+…}
B={m₁y₁+m₂y₂+…}
C={( n₁x₁+n₂x₂+…)×( m₁y₁+m₂y₂+…)}
C={∑∑n_im_jx_iy_j} (6.6)

A×B=AB

由于形式地令各个变量x，y都等于1，前面的定义式就变成了

A=n₁+n₂+…=N，
B=m₁+m₂+…=M

此时C=NM。这说明如果A的个体个数是N，B的个体个数是M，广义集合C的个体的个数应当等于MN。

广义集合的乘法对应于集合的迪卡尔积。

§6.8除运算（÷法）

广义集合也可以做除法。广义集合的除法有两种，广义集合被数除，广义集合被广义集合除。

过去曾经允许一个小于1的数去乘一个广义集合。这种乘法的存在就说明广义集合可以做除法。

（6.7）

显然以上的除法也要求m对每个标志值的个体数的商应当是正整数。

老板又开了一家分店，他把总店的一半的商品拿到分店就是对每种商品的数量都除2。

10里面有几个5，这是两个数的相除问题。广义集合A里有几个广义集合B？这就是两个广义集合相除问题。例如广义集合A={30苹果+40桃子+60香蕉}，按B={3苹果+4桃子+6香蕉}的标准可以分成多少水果盘，余多少？这个问题与10除5是一个类型。但是它是广义集合与广义集合的除法。

广义集合怎么做除法？从形式上说广义集合的除法与代数中的多项式的除法是相同的。仿照多项式的除法，它们也可以除不尽。这时的余式应当是一个另外一个广义集合。

§6.9连续变量

我们曾经把标志值分成数值变量（如工资金额，它们一般是有单位的）和字符变量（如苹果、桃子）这两种情况讨论。但是前面对数值变量的分析主要是针对离散的数值变量进行的。例如分析学校时学生的年级是标志值。它就是一、二、三、…6个可能值。这些数仅能是离散的数，而不会有2.3年级、5.4年级出现。在实际工作中我们会遇到很多标志值不仅是数值变量，而且还是可以连续变化的物理量。例如分析学校中不同身高的学生各有多少时其标志值（身高）就是个可以连续变化的量。本节讨论标志值是连续的数值变量的问题。

处理连续变量的一个方法是使它离散化。例如学生年龄本来是连续变量。我们可以把它分成8岁的、9岁的、10岁的学生等等。这里的年龄为8岁的学生实际上指的是8-9岁这个有365天的区间。把连续变量变成了离散的一段一段的彼此不重叠的小区间就是一种处理办法。由于这种处理方法是把连续变量离散化，它也可以和离散的标志值一样地有广义集合的多项式。这时关于广义集合多项式的一些运算规则对它也是有效的。

很多用数学表达式表示的分布函数是连续变量型的标志值。例如人的体重服从所谓正态分布（高斯分布），是说体重介于x到x+1之间的人在人群中占的百分比y符合数学表达式 y=aexp[-b(x-c)²]。这种连续变量型的分布函数本身已经是数学符号化了。它们的地位与离散变量情况下的广义集合多项式是平等的。它们的运算规则是数学上早已经明确的。我们后面会遇到很多这种分布函数。在需要做数学处理时直接引用数学运算规则就可以了。

§6.10小结

具体地说，符号化就是用符号代表标志值（含量刚等），再加上一些规定（如用+号表示“并且有”、“以及”），就得到了广义集合的多项式表示方法和运算规则。例如用符号x表示某个标志值、用5x表示有5个个体的标志值是x、用{3苹果+2梨}表示三个苹果以及两个梨。它把广义集合表示为一个在外型与多项式相同的表示式。通过对一些运算规则的分析可以看到这种表示广义集合的方法是有不少优点的（后面还有更多的应用）。

本章引入的最重要的概念是广义集合多项式。它是表示广义集合的一种新的简明方法或者说是分布函数的变态。它外型与多项式相同却有着另一种含义。在广义集合多项式中我们也进而借用了代数学中的“项”、“系数”等名称以及加减求和等符号。

表6.7 广义集合的运算规则与要求条件表

受集合运算和代数运算的启发，对新定义的广义集合也初步得到了一些关系和规则。集合论和代数学都是个庞大的知识体系了，而广义集合的知识积累现在仅仅是开始。做为数学的局外人我能力有限，如果数学界承认引出了一个值得进一步研究的问题，这已经是对我回报了。话说回来。我也是为了描写丰富的物理现实而逼上寻找抽象的数学工具的道路的。我可能在数学上命名不当，但是数学应当为这些丰富的物理现实给出对应的抽象模型。

本章中立的“名”（如广义集合多项式等）妥当吗？我们找到的关系准确吗？…这里显然留有很多值得思考的地方，也希望读者不吝指正与讨论。

--第六章结束--

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