广义集合事例5

表4·9中的中国人口在年龄、身高和体重方面的分布问题在人口统计和婴儿、学生保健领域是有统计数据的。人体内的不同直径的血管问题在生理上有研究。不同体重的生物各有多少问题是生态学里的大问题。笔者曾经初步认为是个幂函数（生物物种丰度分布律，自然信息，1992年，3期，35－38）。

广义集合	个体名称	标志名称	分布函数要说明的问题
中国人	每个人	年龄	不同年龄的中国人各有多少
中国人	每个人	身高	不同身高的人各有多少
中国人	每个人	体重	不同体重的人各有多少
一个人	人体的每段血管	血管的直径	不同直径的血管各有多少（长度）
一棵树	每段树枝	树枝的直径	不同直径的树枝各有多少（长度）
一片树叶	每段叶脉	叶脉的直径	不同直径的叶脉各有多少（长度）
一块西瓜地	每个西瓜	西瓜的重量	不同重量的西瓜各有多少（个）
一片松树林	每棵松树	松树的年龄	不同树龄的松树各有多少（棵）
一个岛上的所有动物	每个动物	动物的体重	不同体重的动物各有多少（个）
地球上的所有生物	每个生物体	生物的体重	不同体重的生物各有多少（个）

与牛顿齐名的苏格兰科学家麦克斯威在19世纪中期首先向物理学引入了分布函数的概念，他用高度抽象的推理的方法得出了不同运动速度的分子各占多少的公式。在50年后被事实证实。他的这些工作为物理学创立了分子运动论。

广义集合	个体名称	标志名称	分布函数要说明的问题
一瓶氧气	每个氧气分子	分子的动能	不同动能的分子各有多少（个）
一束阳光	每个光子	光子的能量（频率）	不同能量的光子各占多大的比例
一瓶气体	每个气体分子	气体的分子量	不同的分子量的分子各有多少
氢原子核外一个运动着的电子	单位时间	电子与原子核的距离	与原子保持不同距离的电子各占多少时间
一堆被随机切碎的麻绳	每段麻绳	每段绳的长度	不同长度的麻绳占的百分比
开采出来的一堆煤块	每个煤块	煤块的质量	不同质量的煤块占的百分比
1摩尔的氧分子	每个氧原子	原子量	不同原子量（同位素）占的百分比
一个乙醇分子	每个原子	元素名称	碳氢氧原子各有多少

表4·10给出了几个物理和化学领域的分布函数的个例。其中第一个例子就是上面讲的麦克斯威的工作。表中的第二个例子则是量子论的创始人普朗克关于黑体辐射中不同波长（能量）的光各占多大的比例的问题。这个公式在光学和宇宙学中占有十分重要地位。表中电子在原子核外处于不同的位置各占多少时间的问题实际上等价于出现于各地的概率（见后），这个问题是量子力学研究的重要问题。在量子力学中用波函数表示质点的状态，而波函数的平方是质点出现于该处的概率。理解分布函数对理解量子力学有很大帮助。

表中一个摩尔的氧分子的例子是把6*10²³个氧分子看成一个广义集合。个体是原子而标志是原子量。它的分布函数实际是回答不同的同位素的氧原子各有多少。这个例子说明不同同位素占的权重问题的答案都属于分布函数问题。

表中乙醇的例子（由6个氢两个碳一个氧原子组成）实际说明了每种分子的分子式都可以看成是一个明确的分布函数。用广义集合的语言说化学反应式就是广义集合的并和分解（个体的总个数不变是物质不灭定律的表现），而这里的广义集合都是分子的整数倍。所以乙醇的例子实际上代表了很多的化学问题都可以归入广义集合研究这个大标题下。

提示：有人因为在物理化学领域中找到了重要的分布函数而获得了诺贝尔奖，因此能把表4·10中的空行填入一个物理化学领域的新分布问题，并自己解决了它，也可能站到了争取诺贝尔奖的起点上了。