第十五章关于原理的小结与讨论
（2001年8月公布于 http://entropy.com.cn ）
| §15.1 从概念转向规律 §15.2 关于最复杂原理 §15.3 物质的复杂程度的客观性 §15.4 复杂程度为零物质是不存在的 §15.5 物质的复杂程度的互相转化现象 §15.6 关于复杂度定律 §15.7 连续变量在变换时的复杂程度的变化 §15.8 信息在变换中保守性的证明 |
利用新引入的概率公理可以逻辑地推出最复杂原理。后者是物理学的热力学第二定律和信息论中的最大熵方法的一般化。 理智的分析说明物质的复杂程度的总量是保守的（不可增殖），物质的质量、能量和复杂程度具有统一的保守性。 |
本章小结第二篇的内容、并且对某些问题做讨论或者补充。
§15.1 从概念转向规律为研究事物的组成问题，第一篇引入了广义集合、分布函数和复杂程度三个概念。它们是描述客观事物组成状态时通用的思维工具。第二篇的任务就是利用这些概念描述和寻找关于客观事物组成的复杂程度的一般规律。
本篇
第十章到第十二章研究最复杂原理，第十三章和第十四章讨论复杂度定律，第十五章小结本篇并且再补充一些讨论。第十章
把大家都认可，又在科学舞台上没有名分的认识：一次随机抽样中概率最高的事件是最容易出现（遇到）的事件，尊为概率公理。第十一章利用这个公理引出了最复杂原理。最复杂原理是本书介绍的最重要的原理，利用它可以帮助我们求 很多分布函数。而这正是很多客观事物组成问题中的理论核心。最复杂原理是物理学中的热力学第二定律的扩大化、信息论中的最大信息熵原理的物理（物质）化。为了利用这个原理求分布函数，第十二章专门介绍科学界常用的拉格朗日方法。这个方法的具体的更多的应用在第三篇讨论。第十三章和第十四章
在讨论了物质的复杂程度概念的客观性的基础上指出物质的复杂程度与物质的质量、能量有类比性，并提出物质的形态不同的复杂程度的互相转化问题。我们利用一些零散认识说明物质的不同形态的复杂程度确实存在互相转化现象。在这些提示下，提出有限物质具有的总复杂程度具有保守性的认识，即自然界存在着复杂程度转化和守恒定律。这样关于有限物质的质量守恒、能量守恒和复杂程度守恒就成为对称的三个规律。借助爱因斯坦关于质量能量的公式，还提出了物质的质量、能量、复杂程度的互相转化的大胆预言，并且给出了对应的公式。我们把这些新认识笼统地概括为复杂度定律。另外，我们还讨论了信息增殖的含义、指出信息不可能增殖、有限的物质的复杂程度为有限值的论点与物质在物理上可以无限分割的论点互不相容等论题。我们认为把复杂程度定律与质量能量守恒定律并列是非常重要的新思路，我们也承认这里对它们的讨论是不够充分的。鉴于问题的重要性，建议对它们展开进一步讨论。
§15.2 关于最复杂原理 热力学第二定律是立足于经验的定律----热量仅能自发第从高温传向低温。后来把这个浅显的道理神秘化为熵仅能自发加大，随后又提出了熵对应于热力学几率的对数的所谓统计力学解释。所有这些丰富了我们对熵概念和熵原理的认识。也扩大了对它们的实际应用。但是物理学关于这个定律的认识缺少一个逻辑思维的完整链条。它是经验规律？是其他理论的逻辑推论？两种看法似乎都对。物理学的一项重要功绩就是巧妙利用熵原理推出了横跨很多领域的有用公式。
对通信模型的数学研究引入了信息熵概念。信息熵的最大化可以反求一些分布函数的事实使一些人认为让信息熵最大化是求解一些问题的有效的数学工具。于是“最大熵方法”就成了良好的思维和技术工具。为什么这个工具好？“因为它的结果常常符合实际所以我们用它”----这显然是一种不谈道理的实用主义解释。当然也可以寻找其他的解释，但是这些解释的逻辑关系也是不尽清晰。以上两个重要思路都有实用成绩，又有理论弱点，这正是引入复杂程度概念和最复杂原理的历史背景。
现在的理论框架中最复杂原理不是经验公式而是概率公理的推论。在第十一章指出
| 利用概率公理； |
| 利用复杂程度概念； |
| 在认定你研究的对象（广义集合、系统、总体）具有随机性的情况下； |
| 在明确了本问题中的约束条件的情况下， |
可以证明该对象（广义集合、系统、总体）的状态（组成）的复杂程度总是处于它力所能及的最大值。这就是最复杂原理。
这样我们就用一个连贯的思路逻辑地得到了最复杂原理，也阐明了它的应用条件。在这里我们把它对物理学知识的依赖减少到最低的程度。而热力学第二定律、信息论中的最大熵方法都可以从这里找到理论依据（即热力学和最大信息熵都是它的应用特例）。所以我们主张用最复杂原理统一称呼它们。
过去的一种看法把熵比拟为一个坏蛋，并且把熵原理比拟为世界自发地越来越坏（世界的垃圾越来越多，无用的能量越来越多）。把熵理解为复杂程度以后，由于复杂程度是个中性词，事先认定的坏蛋也就没有了。与此对应，熵原理变成了最复杂原理，熵的自动增加也可以是 “地球上的生物进化”、“电脑的功能日益复杂”、“政府的功能日益丰富”等等这些积极的内容。新理解下的的熵原理（最复杂原理）也包括一些积极的东西。最复杂原理的准确性不是绝对的而是统计的概率的。对于一切具有随机性的客观事物中，这个原理与实际相符的情况是最容易出现的情况。
第十二章
介绍的拉格朗日方法为利用最复杂原理寻找分布函数提供了统一的思路。斩乱麻是一个例子，更多的例子在第三篇讨论。 §15.3 物质的复杂程度的客观性广义集合是认识事物组成的简单的理论模型。它可以描述抽象事物也可以描述客观存在的实际物质。把有限的客观事物看做是广义集合时也就自然认定了我们关心（研究）的个体是什么、标志变量是什么（简单的例如如全班的学生的身高，但是情况复杂时确定什么是个体，什么是标志变量也有困难），并且知道了它的分布函数。而对分布函数的一种计算就得到了该广义集合的关于该标志变量的复杂程度。我们认为该复杂程度是一个客观的物理量，它与物质具有质量或者能量一样地真实、一样地客观。
第十三章
讨论复杂程度的客观性，它不仅指出了有限的物质具有关于某标志变量的复杂程度是客观存在的（不是无穷大），也指出了有限物质可以具有多方面的标志变量，从而有多个复杂程度。例如一个班的学生既有关于身高的复杂程度，也有关于体重的复杂程度以至他（她）们关于血压、脉搏、语文成绩、体育成绩等等等等的复杂程度。我们还指出只要有限物质的个体的数量N是有限值（不是无穷大）那么其复杂程度最多是NlogN ，即它仍然是有限值。有限物质荷有的复杂程度为有限值，它荷有的质量和能量也是有限值，这些知识汇集为物质具有有限的质量、能量和复杂程度（状态）的观点。这个观点比目前流行的世界由物质、能量、信息组成的维纳观点要合理。
哲学界的物质可以无限分割的观点与物质状态的复杂程度为有限值的认识是互不相容的。如果你认为本书关于复杂程度的认识有道理，就得放弃物质在物理上可以无限分割的观点（否则有限物质具有的复杂程度变成了无限大）。
随机性的存在意味着客观事物的复杂程度可大可小，这影响了对复杂程度的客观性的认识，但是我们说明了复杂程度的平均值没有随机性。这为承认复杂程度的客观性扫除了认识上的障碍。讨论复杂程度客观性时我们指的复杂程度都是复杂程度的平均值。
§15.4 复杂程度为零物质是不存在的有限的物质如果可以无限地分割为彼此不同（至少是它们的位置不同）的部分，那么就意味着有限的物质可以具有无限大的复杂程度。我们已经说明这种认识与我们对复杂程度的客观性是不相容的。所以物质是不可能无限地被分割下去的。
有限的物质不能具有无限大的复杂程度，这是问题的一端。如果分析问题的另外一端，那么当我们研究的物质非常小，其复杂程度是否会变成为零呢？复杂程度为零的物质也就意味着该非常小的物质内部没有彼此不同的部分，连其在空间的位置都相同，就只好承认它是仅占一个空间点。这个没有体积的物质（几何点）会有不同的部分吗？当然不会有，所以这种没有内部差别的物质（它也就没有复杂程度，其复杂程度为零）是不可能存在的。
于是得到一个结论：复杂程度为零的物质在世界上是不存在的。
过去我们认为物质再小也得有有限的（不为零）的质量，后来我们认为物质再小也得有有限的能量，现在看还得补充一个认识：物质再小也得有有限的复杂程度。一种哲学观点认为没有差别的（没有矛盾）物质是不存在的，从我们的观点看一个系统内部如果有差别也必然有复杂程度（其复杂程度大于零，不能等于零）。所以物质的复杂程度不能为零等价于承认没有矛盾没有差别的世界（哪怕是很小的世界）是不存在的。
我们也可以反过来说：物质，哪怕它很小很小，也必然具有大于零的质量、大于零的能量和大于零的复杂程度。 §15.5 物质的复杂程度的互相转化现象