第十四章复杂度定律（2001.04-06）
| §14.1
复杂度定律问题 §14.2 不同形态复杂程度的互相转化问题 §14.3 吉卜斯佯谬的新说明 §14.4 混合引起的宏观熵的减少 §14.5 热传导也引起宏观熵的减少 §14.6 被忽视的非平衡态附加熵 §14.7 不可逆变换的熵减少 §14.8 三种变换机构 §14.9 信息、质量、能量的不增殖原理 §14.10 第二类永动机 §14.11 爱因斯坦公式的扩大 §14.12 复杂度定律 §14.13 小结 |
不同形态的物质（质量）可以互相转化、不同形态的能量可以互相转化、不同形态的复杂程度也可以互相转化。 一些熵自发减少的过程被我们忽视了。 物质不可能无限分割。 爱因斯坦的质量能量公式应当扩展为质量能量复杂程度公式。物质的复杂程度（信息）是不可增殖的。 |
§14.1 复杂度定律问题
上一章说明客观物质的复杂程度是一个不以人的意志为转移的描述物质状态丰富程度的客观物理量，而且它是一切物质必然具有的一个基本属性，它与物质具有质量和能量是一样的真实。物质的质量或者能量有其客观规律，描述物质状态组成的丰富程度的物理量----复杂程度也应当有其客观规律。我们称它为复杂度定律。
实际上，笔者在80年代就提出了复杂度定律问题，1987年笔者在《熵究竟是什么》一文中（《熵与交叉科学》1988，北京，气象出版社，23-29页）就在小标题中提出了“从热力学定律到复杂度定律”问题，说：
“由于物质在很多层次的很多方面都有状态问题，这极为众多的状态的每一种都有状态复杂程度问题，即都有熵值需要计算。过去热力学中计算的熵实际上仅是与微观的分子平动、振动、转动…有关的热力学熵。这仅是很多种熵当中的几种。现在熵概念扩大了，人们会问这众多的非热力学熵有什么变化规律？它们也自行加大吗？人们还会问另外一个诱人的问题这就是一个系统内（如由40名学生组成的班集体）有很多种熵存在时，这不同形态的熵是否也象能量那样有互相转化现象存在？”
该文还说：
“我们认为物质形态（或成为集合）包含着远不只一两类状态。其中每一类状态都存在着一个不以人的意志为转移的客观物理量----复杂程度（它不是无穷大）。熵测度的就是对应的复杂程度。状态的类别多也就使一物质系统内有多种熵值。由于确定物质系统的熵（复杂程度）有确定值（不是无穷大）因而物质系统在变化中它的复杂程度（熵）也发生变化。而自然界应当存在一个关于物质系统的统一的规律。这个规律应当表述
物质系统变化时其各类复杂程度是怎样变化的
这可以称为物质的复杂度定律。它实际上是热力学第二定律的深化和扩广。”
还说：
“物质的状态复杂度定律应当是制约一切物质状态变化的普适定律。…热力学第二定律仅是状态复杂度定律的特例。但热力学第二定律已取得的成绩、统计物理…已取得的成绩、信息论已取得的某些成绩都可以视为复杂度定律已取得的成绩。这些前期成绩使我们有信心指望一旦复杂度定律被表述清楚了是会使科学的面貌有重大改观的。有人预言21世纪将是熵的世纪[8]，我们认为这么讲并不过分。…发现与应用复杂度定律可望在21世纪科学史是占有重要地位。”
1989年笔者在《复杂度定律》一文中（1989年第二届熵与交叉科学研讨会论文）对复杂度定律的内容做了猜测：
“1.荷有有限质量和（或）能量的任何物质系统必然荷有有限的复杂度。2.物质系统的内部状态是由有限集合的笛卡尔积构成，而每个集合的复杂程度都处于相应约束下的最大值。这可以称为最复杂原理。3.上述有限集合的个数会随环境的变化而有减少增多。各集合的复杂程度可以互相转化。4.与环境隔开的物质系统的总复杂程度或许是不变化的。”
这些年来我们把热力学第二定律看做是最复杂原理的一部分，而现在提出的复杂度定律把最复杂原理看做是自己的一部分。鉴于我们已经对最复杂原理做了比较多的讨论，本章仅讨论最复杂原理以外的关于客观事物的复杂程度的规律性问题。
§14.2 不同形态复杂程度的互相转化问题
19世纪发现的能量守恒定律是科学史上的重大事件。这个规律的发现显然与前期对于“能量”概念的明朗化有关。例如在力学领域，人们明确了物体的位能应当与质量m、物体的相对高度h都成正比例，即位能=mgh ，还明确了物体的动能不是与物体的速度成正比例而是与速度的平方成正比例。又例如人们明确了热不是一种流质，而是另外一种形态的能量，它可以与机械能互相转化，而且转换的系数是一个常数（热功当量）。另外与此相关的一些物理过程的明朗化使我们看到了一个主要事实：能量可以以不同的形态存在，而且它们是可以互相转化的。此时提出能量在互相转化中是否守恒的问题就具有顺理成章的气势。
在物理学那里，人们对热力学熵的研究揭示了它的本质联系着微观尺度的个体的状态的丰富程度（传统地称为混乱程度，我们更统一地称为复杂程度）。什么是微观尺度的状态？微小的分子的直线运动、转动、振动的不同运动（能量）形态、不同类型的分子乃至电子光子的状态都在考虑之中。
物理学研究过不同形态的能量（运动）和它们的总和，其实，也分析了不同微观形态的复杂程度和它们的总和。今天人们对不同形态的能量的互相转化的认识已经成为常识。不同形态（相同的广义集合内的不同的标志）的热力学熵（微观尺度的复杂程度）可以互相转化的事实尽管已经被人们在一定的范围接受了，只是人们没有把它明朗化和一般化。
例如分析气体分子的熵时要考虑与分子的直线（称为平动）运动对应的状态的丰富程度和分子转动、分子振动的状态的丰富程度。它们分别对应着三种不同形态的热力学熵（复杂程度）。而气体的热力学熵就是这三种熵的合计值。唐有祺在《统计力学及其在物理化学中的应用》一书（1979年，科学出版社，286页）中给出1克分子（1mol）水汽在298.2°K,1大气压时上述三种熵及其合计值（卡度-1摩尔-1）。
表14.1气体具有的不同形态的热力学熵
平动熵 |
34.61 |
转动熵 |
10.46 |
振动熵 |
0.00 |
统计熵（合计值） |
45.07 |
学生如果把足球的速度与其所在高度相加，老师肯定因为他把量刚不同的量加而给他零分。但是把足球的动能和位能相加就合理了。熵是与能量含义不同的量（遗憾的是在热力学领域用了外型类似的单位！），把不同运动形态的熵相加与把不同形态的能量相加有对称性。把相同的物体（同一个广义集合）的不同形态的熵做加法已经为不同形态的熵可以互相转化的物理观念的出台埋下了伏笔。
信息论的出现使熵概念迈出了热力学范畴，于是人们可以用几乎相同的公式讨论非热力学（非微观尺度的状态）的信息熵。我们讨论广义集合的某某“标志”（它可以联系着能量也可以与能量无关）的复杂程度（如分析学生的身高的复杂程度）也具有类似的含义。熵概念向非热力学领域的延伸使我们面临一个新问题：这些不同类型的熵（复杂程度）是否应当一并考虑、是否也具有可以互相转化现象？如果有，它们在转化中是否具有守恒性？
对此我们没有严格的结论，下面以热力学中吉卜斯佯谬问题为例，把讨论引向深入。 §14.3 吉卜斯佯谬的新说明这里先把物理学中吉卜斯佯谬问题做引导性的介绍，目的是用复杂程度公式对吉卜斯佯谬给以说明；而更重要的是引出不同形态的熵的转化问题。
根据物理学的一般认识，不同成分的理想气体在相同的温度、压力下的混合增加了微观尺度的物质的混乱程度或者说热力学熵（复杂程度）。具体地说，有n1, n2,…nm, mol (摩尔)的m种温度压力相同的理想气体在混合以后热力学熵的增加值ΔS（指两种的热力学熵相加之外还要增加的值）应当是 ΔS=-∑niRln(ni/n) （14.1） 以上求和遍及m种彼此不同的气体，而n是所有气体的总摩尔数的和。即 n=∑ni用上面方法计算的混合引起的熵增加与热力学的其他知识是自洽的。从外型看这个公式应当可以用于各种理想气体，于是它也应当可以用于相同种类的气体的混合过程。但是把相同的气体混合显然不可能增加新的熵。否则把它们多次混合热力学熵可以无限增加。为什么这个公式不能用到同种的气体？这就是所谓吉卜斯佯谬问题。物理学对此从不同的角度做了说明同种气体不能用这个公式。在我们看来利用复杂程度公式很容易说明吉卜斯佯谬问题。
注意到气体常数R是玻尔兹曼常数k与阿佛加得罗常数N0的乘积，即R= k N0
以N1，N2，…Nm，表示每种气体分子的个数，于是公式（14.1）变成了 ΔS= k∑-Niln(Ni/N) （14.2） 以上求和遍及m种不同气体，N是所有分子的总个数。不难发现上面公式中右侧的求和的部分，即∑-Niln(Ni/N)，与第七章的复杂程度C公式（7.5）在外型上完全相同。这不仅把热力学熵又一次与复杂程度联系起来（印证了热力学熵应当等于复杂程度乘玻尔兹曼常数），而且我们说只要按复杂程度公式理解（14.2）式，吉卜斯佯谬就消失了。 难道一个求和计算，∑-Niln(Ni/N)，还要强调“按复杂程度公式”理解？按复杂程度公式理解是什么含义？ 在第七章定义复杂程度时是用了这个求和公式。但是我们也说清楚了求和是对于标志值彼此不同的个体分别进行的。对于标志值相同的个体，我们仅能先把它们的个数相加再做取对数之类的计算。例如有氮气，氧气各1摩尔（Ni= 6.023×1023个分子）它们的总个数N=2×6.023×1023。于是复杂程度C C=∑-Niln(Ni/N) C=-6.023×1023ln(6.023×1023/2×6.023×1023)-6.023×1023ln(6.023×1023/2×6.023×1023)=6.023×1023ln2依照以上计算方法，混合过程显然是增加了热力学熵（也符合复杂程度公式）。
如果以上混合过程实际是相同的两种气体（例如氮气）的混合，在复杂程度公式的理解下气体的状态仅有一种，所以个体总数是2×6.023×1023而标志值为氮的气体的个数也是2×6.023×1023，复杂程度公式变成了 C=-2×6.023×1023ln（2×6.023×1023/2×6.023×1023） C=-2×6.023×1023ln1 由于1的对数等于零，ln1=0，所以上面的复杂程度C=0，即相同气体的混合没有增加新的熵（复杂程度），熵还是原来两部分的代数和。 即从复杂程度公式的角度理解（14.2）式，它对于不同种类的气体就计算出一个大于0的值，但是对于相同的气体，由于Ni=N，ln( Ni /N)=0，所以熵没有增加。所以，从复杂程度公式的角度理解气体混合时的熵增加公式
（14.2），所谓吉卜斯佯谬就消失了上面对物理学中吉卜斯佯谬问题用复杂程度的语言做了说明。在上述物理过程中人们传统地认为自发进行的不同气体的混合使系统的熵（混乱程度、复杂程度）增加了。这当然也体现了所谓熵增加原理（热力学第二定律）。
从复杂程度公式解释吉卜斯佯谬问题是我们的成绩，但是这不是我们的重点。我们是借这个问题再提一个新问题：如果把视野再扩大到宏观尺度的混乱性（复杂程度），就发现混合过程还引起了宏观熵的减少，即微观熵增加的同时还存在着宏观熵减少的物理过程，或者说不同形态的熵存在转化现象。下一节我们讨论它。