准全息元数学模型及其应用
王迪兴
季长印 杨卫民 冯武文
北京化工大学
在
http://entropy.com.cn 公布于2002.02
本文原载于98年第四期“系统辩证学学报”
内容提要
准全息元数学模型是复杂开放系统的自组织原理模型，可体现复杂开放系统的所有本质特性。它是复杂开放系统的整体结构及定量形式化描述。为人类提供了一种认识系统的整体思维模式，表达了整体世界图景的一些本质特性，为复杂系统的人工模拟提供了有效的数学原理。体现了系统演化必然性与偶然性、及确定性与随机性的统一，通过它可以找到系统由不确定向确定性转化的结构联系法则，实现对系统进化规律的有效揭示与把握，进而说明诸如生命系统的自组织性、目的性、主动性的哲学意义。
关键词：复杂系统
自组织原理模型 开放性
一、引言
目前，人工系统迫切需要定量形式化描述模型，即逻辑与数学、形式与内容、时间与空间的统一形式化描述，否则只有定性描述而无定量描述，尤其是没有结构描述，就不能进行有效的功能模拟。尤其是复杂开放系统，除需定性、定量描述外，还需要要素的自组织逻辑关系描述，及在多维空间的整体结构形态描述，即系统参量自组织群体结构关系的空间形态描述。
不论什么样的系统,都是有序与无序的统一,都具有形式可构造性，数学的基本功能，亦是它的可构造性，适应客观世界的整体定量描述，尤其是适应复杂系统结构的定量形式化描述，数学无疑问要面向系统的构造性问题。
二、准全息元数学模型
复杂系统的序参量或要素，具有结构上的因果联系，因而完全可以定量形式化描述，即序参量的因果联系，必然能通过与原型具有同构性质的数学模型的构造，来进行具体描述。一个超级复杂开放系统，其参量的因果逻辑关系，必然以全部可能的参量为背景，相容一切可能的因果逻辑关系而建构。显然，这不是一般的离散数学模型所能描述的，一般的离散数学模型，只能描述有限的因果联系，而超级复杂系统的数学模型，必须要反映“可能世界”中的可能性因果联系，具有一个能满足因果联系的可能性整体状态空间，且具有互为因果关系内涵与外延的一致相容性。如从多种可能的因中给出某种因，就可从多种可能的果中得到预期的果，这对于揭示及描述复杂系统各子系统之间的功能联系、信息联系、动力学结构联系，或参量联系至关重要。描述这种复杂系统的数学模型，可将其称为“准全息元数学模型”――类似数学用表一样可进行加减、乘除、乘方开方、对数反对数运算的计算模型。随着复杂系统理论的深化，尤其是适应复杂系统功能的人工模拟，如人的智能或思维功能模拟，这种准全息元数学模型，必然的要应而生，以作为人工系统的有效数学原理。具体的模型见附图1附图2：
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三、准全息元数学模型的构造
以整数群、有理数群、实数群为基础构造的数学模型，其结构形式各不相同，这是由于每一种结构,都要受特定的结构法则（即逻辑法则）制约，否则不同类型的参量，在模型中就不可能对应表示唯一的确定因果逻辑关系，在实际系统中标志要素的参量关系，也不可能具有唯一的确定性。
模型按加减、乘除、乘方开方、对数与反对数逻辑关系,分为三种结构形式。
1、加减逻辑关系结构（见图1）
这是把整数,分为奇数列与偶数列，以奇数列为中轴呈对称矩阵形构造的，另有一种是呈三角形构造的，它反映自然整数之间的加减运算关系。
整数的加减运算关系,是奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数减奇数等于偶数，偶数减奇数等于奇数，奇数减偶数等于奇数，偶数加奇数等于奇数。
模型中凡两奇数之差及两偶数之差,均从左上角斜线对应表示；凡两奇数之和或两偶数之和,均从右下角斜线对应表示；凡奇数与偶数之和、奇数与偶数之差,均从中间奇数列对应表示。
2、乘除逻辑关系结构（见上述图2a、2b、2c、2d1、2d2、2d3、2d4）
这是将整数,分成纯偶数与奇数两类数构造的，它反映有理数范畴内的乘除运算关系。整数按乘除运算关系分类如下：
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整数乘除运算关系,是奇数乘奇数等于奇数，奇数除奇数等于奇数（小数值例外），见模型2a右上角四分之一部分，纯偶数乘纯偶数等于纯偶数，纯偶数除纯偶数等于纯偶数，见2a左下角四分之一部分。奇数与纯偶数,按乘除运算关系,均可自成体系。
而奇偶复合数除奇偶复合数，其结果可能是奇数，也可能是纯偶数，或仍然是奇偶复合数。奇偶复合数除纯偶数等于奇数、除奇数等于纯偶数，奇数乘纯偶数等于奇偶复合数，因而整数乘除运算关系模型,是纯偶数乘除逻辑关系模型，与奇数乘除逻辑关系模型的复合体系。
模型中奇数与纯偶数一一对应表示乘除运算值，如奇偶复合数除奇偶复合数，则两数的奇因数与纯偶因数分别对应相除，除得的商再对应相乘即为两数之商。如奇偶复合数乘奇偶复合数，则两数的奇因数与纯偶因数,分别对应相乘,乘得的积再对应相乘。
小数相乘，需扩大成整数，相乘之积,再按扩大的倍数缩小，或除以扩大的倍数。小数相除，则按相同的倍数,扩大成整数相除，其商值不变。
3、乘方开方、对数反对数逻辑关系结构
这一结构同乘除逻辑关系结构是一样的，只是匹配的数值不同，如乘除逻辑结构中的任意一个数开2次、3
次、4次方……，就以乘除逻辑关系结构为基础,分别匹配2次、3次、4次方根值……，
乘方运算关系结构，是在乘除运算关系结构的基础上附加如下结构：
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它按梯形等级层次,表示乘幂次数序列，图中n可代表任意基数，然后按乘幂次数依序表示其乘幂数。
如求整数的小数根，或求小数的整数根及整数幂，均需进行等值算式变换，即均需变成整数对应求值。如：
=
=
=
四、准全息元数学模型的主要特性
模型可体现复杂开放系统的很多本质特性：
１、准全息性
因人类只能从有限开始去认识无限，如将人类有限的认识加以定量形式化描述，即用各种类型的参量定义或标志系统的要素，并构成互为因果关系群结构模型。这种模型只能是一个有限的模型，但人类的认识是一个无限的渐进过程，永远也不会停留在一个水平上，如对其进行描述，就必然是一个能趋向无限的、相容客观世界一切可能信息量的渐进进化模型。它可以描述人类理性的渐进性建构特性，可相容人类待认识的所有潜在信息，还可以使某类参量群体，在有限值域内，通过同化与顺应,进行一致性因果逻辑关系内涵与外延建构。
这种准全息元数学模型的准全息概念，不同于所谓的全息概念，全息概念相对于系统的动态或静态描述，事实上都是不现实的，即全息不全，全息意味着系统不再进化,意味着是个死系统。之所以将模型定义为准全息元数学模型，是因为在已有的逻辑法则、及相容已有逻辑法则的基础上，模型或系统能一致有效地内涵或外延建构，系统编译码输入输出及处理信息的能力可以延伸或增强－即信息量可扩展，其信息量是趋向全息，但永远也不会达到全息，只能是准全息。
２、准完备性与开放性
模型作为一个形式系统，对各类参量的逻辑关系规定，都具有内涵与外延的一致有效性，所以,决定了模型具有开放性与准完备性。系统的开放性，是系统准完备过程的基本前提，准完备性是开放系统发展的必然趋向。在封闭式系统中，哥德尔用有穷方法已经证明其具有不完备性，被称为形式系统的不完备性定理，但不完备性定理不适用于开放性系统，开放系统能相容于新的、更高阶的结构（逻辑）法则建构，而趋向高层次相对完备－准完备,
准完备只能在无限渐近进化（生长）过程中逐步取得，但永远也不会达到真正的完备，只能是无限趋向完备，我们把系统的这种特性，称为准完备性。相对于不完备性定理，我们称其为准完备性定理。
３、逻辑层次的相容性
参量在不同的逻辑层次上，分不同的类型构成不同的群体结构。在一个层次上只能遵循一种逻辑法则，确定一种群结构形式，否则，模型就不会具有参量之间因果逻辑关系的唯一确定性。这种唯一确定性，使每一种群结构都即有相对独立性，又能相容于更大的系统，因而模型本身就是一个多元相容性形式系统。群的低层次结构法则，总是要相容于高层次的结构法则，而体现逻辑一致性。
在不同逻辑层次上构成的群结构，除具有因果关系的确定性及逻辑一致性外，还具有结构的一致可塑性，即模型能在对参量逻辑规定一致的基础上无限外推，而结构的形式及互为因果性保持不变。
一般来讲，开放系统总是要超越低逻辑层次的有序自组织结构，演化为高逻辑层次的有序自组织结构，且具有逻辑（结构法则）的一致相容性。这种特性非常适用于描述生物界及生物系统、从简单有序到复杂有序的进化过程。其结构原理与法则，及参量的互为因果群结构动力学特性，无疑是模拟复杂系统结构与功能的基本前提，也是自然科学理论要解决的根本任务。
４、有序及互为因果性
参量是形式系统的描述对象或内容，逻辑是形式系统的结构法则，系统整体结构的定量形式化描述，即准全息元数学模型。相对于复杂系统，模型体现了形式与内容、逻辑与运算的统一性。作为一个形式系统，没有无内容的形式，也没有无形式的内容。内容（参量）依据逻辑法则，在宏观上表现一致可构造性，就可体现出参量的有序及互为因果性。互为因果性及逻辑一致性是有序的基础,也是自组织的基础。它保证系统在同环境的交互作用中，能实现自我维持、自我组织协调、自己创造（复制）自己。系统在内部协调、外部适应的基础上，能保证系统内耗最小、整体功能最优，系统行为或功能的预决性（即目的性）最强。
参量通过互为因果交互作用关系形成稳定的有序结构，这种结构不会因外界的作用条件涨落而解体，相反，外界作用条件的涨落，可以强化序参量之间的协同或竞争作用，因序参量支配着子系统，因而亦导致子系统功能之间的相互强化与抑制，使系统的结构与功能，在更高的层次上达到相容有序及自组织。当然，这有特定的时空及物质与能量的交互作用为条件或背景，超越或改变特定的时空,或物质与能量的交互作用关系，系统无疑要改变演化形式及形态。从宏观上讲，系统的进化与解体（退化），亦呈互为因果关系，一种系统形式解体，就必然要有新的系统形式出现，而相对于更大的系统，已无所谓进化与退化，它只是物质与能量的存在形式，在更大尺度的空间发生循环演变而已。
5、线性与非线性，连续与离散的统一性
本文所指的非线性,是指系统参量群的逻辑关系，是两维以上的空间结构，如遵循加减逻辑法则构成的自然整数群结构，就属两维系统结构。在自然整数群体结构中,任何一个自然整数加减任何一个自然整数，其结果必然还是一个自然整数，这种逻辑关系建立在逻辑可逆性基础上，数群中的参量之间具有严格的互为因果关系，作为二值的中间值,具可数可列性。遵循乘除逻辑法则构成的有理数群，属三维系统结构，在有理数群中，参量之间[wang1]的逻辑关系，并非是完全的逻辑等值关系，而是近似相等，如1与7的逻辑运算值0.142857,
通过增加循环周期,可以无限逼近等值，但永远也不会完全相等，其逻辑关系只具近似可逆性。如作为二值的中间值,则具有不可数可列性。相对于两维系统，因其结构是三维的，所以结构相对要复杂的多。但它一定能相容两维系统。
至于连续性，一是指系统要素的参量标度，可以无限微细化，可在任意精确度水平上进行模/数、数/模转换，一是指系统的建构及发展，是个无限的渐进过程。相对于离散性，连续性是系统趋向准完全或准全息参量化的动态过程，离散性则是连续性的定态阶段化体现，没有离散性，就无法描述系统的特定结构，也表现不出趋向准全息的阶段性，没有连续性，系统就不能表现出渐进的自组织过程，也不会趋向准全息，因而两者具有统一性。但因存在参量的非线性因果关系，两者永远也不会达到完全的统一，统一仅是相对而言的。
6、二值、多值与准多值逻辑的统一性
系统参量既可以是连续量，也可以是离散量，既可用二值表示，也可用二值的任意中间值表示，在现实世界中，多值、二值、及二值的任意中间值，其逻辑基础无疑是具有统一相容性的。
在客观现实中，只有准多值逻辑才能反映事物的本质特征，只有在准多值逻辑的基础上，才能确定二值的任意隶属关系或隶属度，这在传统的二值逻辑中是难以想象的，二值只是准多值的极端化特例。
模型的逻辑基础,在相容二值逻辑的基础上,具有准多值逻辑特性，即在二值中间可增加任意值；可无限接近连续值；可确定各类参量的各种数学基本运算关系，其逻辑特性具有元逻辑特性，可相容各种逻辑功能。所以模型可在准多值逻辑基础上，确定任意二值隶属关系或隶属度，完全满足二值、多值及近似确定值、或近似隶属值的逻辑处理，从而既能描述及处理确定性问题，又能描述及处理连续性问题，既所谓的模糊性问题，同时还能一致有效的描述及预测未知参量。因而模型的逻辑基础,具有确定与非确定、有限与无限、可逆与不可逆、对称与非对称的统一性、及辩证逻辑特性。
7、关于突现及自组织的数学解释
单一参量（代表一种状态）不可能突现自组织系统特性，只有某类参量群体才能突现系统特性及特定的功能。某类参量群体并非凭空突现系统特性及特定的功能，某类参量之间必须通过具体物质媒介，建立实际的互为因果交互作用关系――一个实在的物理实体。如整数通过具体的媒介建立起交互作用关系群体，就能突现加减运算关系及功能。反过来，我们可以视加减运算关系为作用关系群体的组织法则，说明任意一个自组织的创生都不是无原则的，它们一定要遵循某种法则。假设在这一群体中取出任意一个参量，都会破坏这种运算关系，或导致这种运算关系及功能不成立。因而突现的前提必须是建立某类参量群体的具体交互作用关系。
五、准全息元数学模型的应用
准全息元数学模型的应用是非常广泛的，现举例说明如下：
1、作为人类思维的形式化演绎模型是理想的，其参量之间的互为因果逻辑关系,即可以避免描述对象的岐义性，又可使逻辑推理具有可逆性，且符合辩证逻辑规律。最关键的是可使任意概念,都能与人类全部知识背景密切地联系起来，并以算术逻辑、即准多值逻辑为基础进行处理。
德国哲学家莱布尼茨,早在一六六三年,就曾设想创立人类思想的字母表，然后通过由字母组成的联系和词的分析，使其它一切相关的意义及词项都能被发现和判断。作为一种普遍语言，它既包含发现新命题的技术，又包含有关这些新命题批判的考察技术。这种思想的产生，是莱布尼茨认为一切争论的产生，都是由于在事件中缺乏明析的表达手段。如对一切事物都能指派特定的特征数字，用数字代替字母定义事件，以便在演绎验算中,分清事物的内在因果逻辑联系和次序，并将逻辑推理变为数学演算，因而一旦占有了代替事物本身的特征数字，然后用运算代替逻辑推理，就可以从根本上避免岐义性。同时用组合或分解概念的正确方法,就能够重新获得所有的东西及其理论依据。其每一个概念,都可以通过互为因果逻辑关系，从其它概念中推导出来，且这种互为因果逻辑关系,始终是处于辩证的合理联系及系统规范之中。莱布尼茨的这种思想,确实具有理想化的特点，一般说来，信息可以表现为自然语言,或形式化的抽象语言及符号，为了讨论、传递及处理，把它转换成数字的形式是有好处的，有时甚至可以说是必需的。人脑的思维,
就是把符号、图象或语言编码,转换为能流“量”的形式，进行组合与分解。这样就可以将形式系统内的命题推断,转换为关于数值的运算，将关于符号、符号串,及其序例的陈述,转换为关于数值及其算式的陈述，但这必须有一个具体的整体形式化系统模式，即有一个形式与内容、逻辑与运算相统一的、便于形式推导及演绎的、具有内在统一结构与功能的形式系统，使任意信息都能在全部信息背景中互相定义、互相解释、互相转换。但莱布尼茨本人并未创立起这样一种形式化系统，因而倍受非议，有了准全息元数学模型，莱布尼茨的基本思想已具有实现的可能，准全息元数学模型,就是莱氏所说的人类思想的字母表。
2、作为脑模型或智能机的逻辑结构模式
对人脑神经系统进行有效的形式化描述，及逻辑或参量的因果关系描述，是构造人脑神经网络模型、或智能计算机的先决条件。
对系统进行整体形式化描述,是为了把握人脑神经系统的整体结构特征，是将结构和功能、形式和内容溶为一体的前提下，把握系统中参量之间的联系与转换特征，及子系统之间的自组织协同作用――功能耦合特征，还有最优化的系统结构特征。
逻辑描述或参量关系描述，是描述系统的结构形态、及结构法则；是利用点、线、面,抽象、形式地、反映信元及符号、参量、或能量流的流通、与变换途径,或因果交互作用关系；是描述反映神经结构的构成法则，或记忆单元内在相关作用的整体组织、或因果关系规则；是通过特定的表达形式，描述参量或要素之间的因果关系,及交互耦合作用关系，反映正、反、和、对立统一的辩证逻辑法则；是反映离散、聚合、多维立体的动力学作用结构的构成法则；是为每一条信息传递通道、或知识记忆单元确定参量标志，以便互相定义、互相译释、互相区别、互相转换。
准全息元数学模型,遵循一个统一的、相容而又开放有序的结构法则，可以保证任意一个参量都既具有独立性、又具有与全部信息单元的逻辑相关性，同时具有因果关系的唯一确定性，及多元逻辑的一致有效相容性。这种结构法则,既是参量因果关系的逻辑法则，又是子系统的功能耦合法则。它可体现全部信息单元的内在因果联系，使模糊与精确、连续与离散的量化信息（包括模拟量）,进行有机统一的逻辑关系转换，且能保证处理的精确性，保证结果表达的灵活性――能确定任意一个表达的因果隶属范畴，因而具有所谓的模糊信息处理功能。
模型的每一个参量作为要素的标志，可以定义人脑的每一个记忆区（点）,或信息传递通道，同时定义相应事物――知识或概念。通过参量既可以相互区分并显示具体概念、或子系统的相互独立性，又可以代表所要传递及记忆的具体内容及意义，因而,以准全息元数学模型为逻辑结构模式构造智能机或人脑模型，可体现人脑神经结构及功能的很多本质物征及属性(另有专文说明)。
准全息元数学模型的问世，可以充分说明经典数学并非仅限于人脑思维的外向映照，而且能同时对人脑神经结构作一种内向的同构摹写，作为人工智能系统的有效数学原理,或逻辑结构模式。
早在一九四八年，冯·诺依曼就曾指出：“要创造功能确实很强的计算机，有三个急需解决的难题：一是元件体积大，二是元件可靠性差，三是缺少构成复杂系统的逻辑结构模式及方法”。有了准全息元数学模型及微电子科学技术的长足发展，冯·诺依曼所说的三个难题,可以说得到基本解决。但距构成一个人脑模型，并能真正地类比人脑思维，还需解决很多具体问题，如能量转换及编译码机制；各种行为效应及质、量、形的感知机制；符号、语言、图象与特定的参量匹配及相互译释机制；子系统之间的功能交互转换作用机制等。随着这些问题的有效解决，具体构造一个类比人脑智能的人工智能系统，就只是一个时间问题。
3、作为系统理论的数学模型
系统不能通过还原分析,把它们割裂为孤立的要素和部分，一般来讲，在复杂系统中，非线性的相互作用,必然要相容线性因果作用关系，对其多值测度的分析,也必然要相容独立值，或单值测度的分析。人们通过对事物发展的多种可能性估价，通过多种可能的因果作用机制，可以使事物向既定目标转化。如果把人类确定目标的“附加主观性”,与对象演化的“可靠性”空间结构形态有机地结合起来，把各种不确定因素随机纳入系统整体中加以考察，就可能找到由不确定向确定性转化的联系法则，实现对系统进化规律的揭示与把握，进而说明诸如生命系统的自组织性、目的性、主动性的哲学意义。相对于社会经济的发展，则有了宏观调控的自组织原理模型。
六、结论
显然,相对于复杂系统的功能模拟，仅有定性描述是远远不够的，还需有定量形式化及结构描述。准全息元数学模型，作为人工系统的数学原理，无疑是理想的。它不仅能从变化发展上摹写系统的整体活动特征，而且能从有机整体联系上,描写事物间的关系和结局。且符合系统整体辩证逻辑的自组织法则。周易,虽也是系统哲学思想的一种整体定量形式化描述，同样形式化地说明了事物整体发展变易的基本规律，为人类提供一种认识世界的整体思维模式，表达了整体世界图景的一些本质特性，但准全息元数学模型与其相比,则更为精确和全面，主要表现在描述精度与形式不同，周易仅限于整数参量及二值逻辑描述，体现不了参量之间内在自组织关系，模型则是系统结构的整体描述，可体现参量之间的内在逻辑关系，因而比周易更具实用性。
准全息元数学模型立足整体统筹全局，使整体和部分辩证地统一起来；使质变与量变、有限与无限、及结构与功能的考察内在地统一起来；同时使复杂系统结构在与真实结构相似同构的基础上，形式化地再现于三维空间；体现了宇宙演化必然性与偶然性的统一；为复杂系统的运动状态和自组织的把握,
提供了静态描述摹本；为复杂系统的人工模拟提供了有效的数学原理。准全息元数学模型,既为系统思想及哲学理论提供了定量描述的有效形式，又为系统哲学思想及理论研究的深化,提供了研究摹本，是自然科学理论及哲学思想在更高层次的综合与概括。
主要参考文献：
1．皮亚杰（瑞士）著，倪连生等译，结构主义，商务印书馆，1984.11
2．王雨田，控制论、信息论、系统科学与哲学，中国人民大学出版社，1986年5月。
3．祖庆年译，莱布尼茨自然哲学著作选，中国社会科学出版社，1985.4
4．钟明，系统自组织与自然目的性，哲学研究，1988（8）
5．陈连涛，论科学认识数学化的原因，哲学研究，1988（7）
6．中国社科院哲学研究所逻辑研究室编，数理哲学译文集，商务印书馆，1988.9
7、王迪兴，准全息元数学模型—智能机的理论基础，全国首届智能机器人学术会论文，1988.10西安
8、让娜·帕朗·维亚尔著，张来举译，自然科学的哲学，中南工业大学出版社，1987.5
9、王迪兴，脑神经网络模型及其基本结构，中国首届神经网络大会论文，1990.12（北京）
10、朱水林，形式化；现代逻辑的发展，人民出版社，1987.5
11、E·拉兹洛著（美）系统哲学讲演录，北京·中国社会科学出版社，1991年7月。
注：本文原载于98年第四期“系统辩证学学报” 。
