准全息元数学模型及其应用

王迪兴 季长印 杨卫民 冯武文

北京化工大学  

http://entropy.com.cn  公布于2002.02

 本文原载于98年第四期“系统辩证学学报”

内容提要

准全息元数学模型是复杂开放系统的自组织原理模型,可体现复杂开放系统的所有本质特性。它是复杂开放系统的整体结构及定量形式化描述。为人类提供了一种认识系统的整体思维模式,表达了整体世界图景的一些本质特性,为复杂系统的人工模拟提供了有效的数学原理。体现了系统演化必然性与偶然性、及确定性与随机性的统一,通过它可以找到系统由不确定向确定性转化的结构联系法则,实现对系统进化规律的有效揭示与把握,进而说明诸如生命系统的自组织性、目的性、主动性的哲学意义。

 

关键词:复杂系统  自组织原理模型  开放性

 

一、引言

    目前,人工系统迫切需要定量形式化描述模型,即逻辑与数学、形式与内容、时间与空间的统一形式化描述,否则只有定性描述而无定量描述,尤其是没有结构描述,就不能进行有效的功能模拟。尤其是复杂开放系统,除需定性、定量描述外,还需要要素的自组织逻辑关系描述,及在多维空间的整体结构形态描述,即系统参量自组织群体结构关系的空间形态描述。

    不论什么样的系统,都是有序与无序的统一,都具有形式可构造性,数学的基本功能,亦是它的可构造性,适应客观世界的整体定量描述,尤其是适应复杂系统结构的定量形式化描述,数学无疑问要面向系统的构造性问题。

二、准全息元数学模型

复杂系统的序参量或要素,具有结构上的因果联系,因而完全可以定量形式化描述,即序参量的因果联系,必然能通过与原型具有同构性质的数学模型的构造,来进行具体描述。一个超级复杂开放系统,其参量的因果逻辑关系,必然以全部可能的参量为背景,相容一切可能的因果逻辑关系而建构。显然,这不是一般的离散数学模型所能描述的,一般的离散数学模型,只能描述有限的因果联系,而超级复杂系统的数学模型,必须要反映“可能世界”中的可能性因果联系,具有一个能满足因果联系的可能性整体状态空间,且具有互为因果关系内涵与外延的一致相容性。如从多种可能的因中给出某种因,就可从多种可能的果中得到预期的果,这对于揭示及描述复杂系统各子系统之间的功能联系、信息联系、动力学结构联系,或参量联系至关重要。描述这种复杂系统的数学模型,可将其称为“准全息元数学模型”――类似数学用表一样可进行加减、乘除、乘方开方、对数反对数运算的计算模型。随着复杂系统理论的深化,尤其是适应复杂系统功能的人工模拟,如人的智能或思维功能模拟,这种准全息元数学模型,必然的要应而生,以作为人工系统的有效数学原理。具体的模型见附图1附图2:

                         

三、准全息元数学模型的构造

    以整数群、有理数群、实数群为基础构造的数学模型,其结构形式各不相同,这是由于每一种结构,都要受特定的结构法则(即逻辑法则)制约,否则不同类型的参量,在模型中就不可能对应表示唯一的确定因果逻辑关系,在实际系统中标志要素的参量关系,也不可能具有唯一的确定性。

    模型按加减、乘除、乘方开方、对数与反对数逻辑关系,分为三种结构形式。

    1、加减逻辑关系结构(见图1)

    这是把整数,分为奇数列与偶数列,以奇数列为中轴呈对称矩阵形构造的,另有一种是呈三角形构造的,它反映自然整数之间的加减运算关系。

    整数的加减运算关系,是奇数加奇数等于偶数,偶数加偶数等于偶数,奇数减奇数等于偶数,偶数减奇数等于奇数,奇数减偶数等于奇数,偶数加奇数等于奇数。

    模型中凡两奇数之差及两偶数之差,均从左上角斜线对应表示;凡两奇数之和或两偶数之和,均从右下角斜线对应表示;凡奇数与偶数之和、奇数与偶数之差,均从中间奇数列对应表示。

    2、乘除逻辑关系结构(见上述图2a、2b、2c、2d1、2d2、2d3、2d4)

    这是将整数,分成纯偶数与奇数两类数构造的,它反映有理数范畴内的乘除运算关系。整数按乘除运算关系分类如下:

    整数乘除运算关系,是奇数乘奇数等于奇数,奇数除奇数等于奇数(小数值例外),见模型2a右上角四分之一部分,纯偶数乘纯偶数等于纯偶数,纯偶数除纯偶数等于纯偶数,见2a左下角四分之一部分。奇数与纯偶数,按乘除运算关系,均可自成体系。

    而奇偶复合数除奇偶复合数,其结果可能是奇数,也可能是纯偶数,或仍然是奇偶复合数。奇偶复合数除纯偶数等于奇数、除奇数等于纯偶数,奇数乘纯偶数等于奇偶复合数,因而整数乘除运算关系模型,是纯偶数乘除逻辑关系模型,与奇数乘除逻辑关系模型的复合体系。

    模型中奇数与纯偶数一一对应表示乘除运算值,如奇偶复合数除奇偶复合数,则两数的奇因数与纯偶因数分别对应相除,除得的商再对应相乘即为两数之商。如奇偶复合数乘奇偶复合数,则两数的奇因数与纯偶因数,分别对应相乘,乘得的积再对应相乘。

    小数相乘,需扩大成整数,相乘之积,再按扩大的倍数缩小,或除以扩大的倍数。小数相除,则按相同的倍数,扩大成整数相除,其商值不变。

    3、乘方开方、对数反对数逻辑关系结构 

    这一结构同乘除逻辑关系结构是一样的,只是匹配的数值不同,如乘除逻辑结构中的任意一个数开2次、3 次、4次方……,就以乘除逻辑关系结构为基础,分别匹配2次、3次、4次方根值……, 乘方运算关系结构,是在乘除运算关系结构的基础上附加如下结构:

    它按梯形等级层次,表示乘幂次数序列,图中n可代表任意基数,然后按乘幂次数依序表示其乘幂数。

   如求整数的小数根,或求小数的整数根及整数幂,均需进行等值算式变换,即均需变成整数对应求值。如: = = =

    

四、准全息元数学模型的主要特性

    模型可体现复杂开放系统的很多本质特性:

    1、准全息性

    因人类只能从有限开始去认识无限,如将人类有限的认识加以定量形式化描述,即用各种类型的参量定义或标志系统的要素,并构成互为因果关系群结构模型。这种模型只能是一个有限的模型,但人类的认识是一个无限的渐进过程,永远也不会停留在一个水平上,如对其进行描述,就必然是一个能趋向无限的、相容客观世界一切可能信息量的渐进进化模型。它可以描述人类理性的渐进性建构特性,可相容人类待认识的所有潜在信息,还可以使某类参量群体,在有限值域内,通过同化与顺应,进行一致性因果逻辑关系内涵与外延建构。

    这种准全息元数学模型的准全息概念,不同于所谓的全息概念,全息概念相对于系统的动态或静态描述,事实上都是不现实的,即全息不全,全息意味着系统不再进化,意味着是个死系统。之所以将模型定义为准全息元数学模型,是因为在已有的逻辑法则、及相容已有逻辑法则的基础上,模型或系统能一致有效地内涵或外延建构,系统编译码输入输出及处理信息的能力可以延伸或增强-即信息量可扩展,其信息量是趋向全息,但永远也不会达到全息,只能是准全息。

    2、准完备性与开放性

    模型作为一个形式系统,对各类参量的逻辑关系规定,都具有内涵与外延的一致有效性,所以,决定了模型具有开放性与准完备性。系统的开放性,是系统准完备过程的基本前提,准完备性是开放系统发展的必然趋向。在封闭式系统中,哥德尔用有穷方法已经证明其具有不完备性,被称为形式系统的不完备性定理,但不完备性定理不适用于开放性系统,开放系统能相容于新的、更高阶的结构(逻辑)法则建构,而趋向高层次相对完备-准完备, 准完备只能在无限渐近进化(生长)过程中逐步取得,但永远也不会达到真正的完备,只能是无限趋向完备,我们把系统的这种特性,称为准完备性。相对于不完备性定理,我们称其为准完备性定理。

    3、逻辑层次的相容性

    参量在不同的逻辑层次上,分不同的类型构成不同的群体结构。在一个层次上只能遵循一种逻辑法则,确定一种群结构形式,否则,模型就不会具有参量之间因果逻辑关系的唯一确定性。这种唯一确定性,使每一种群结构都即有相对独立性,又能相容于更大的系统,因而模型本身就是一个多元相容性形式系统。群的低层次结构法则,总是要相容于高层次的结构法则,而体现逻辑一致性。

    在不同逻辑层次上构成的群结构,除具有因果关系的确定性及逻辑一致性外,还具有结构的一致可塑性,即模型能在对参量逻辑规定一致的基础上无限外推,而结构的形式及互为因果性保持不变。   

    一般来讲,开放系统总是要超越低逻辑层次的有序自组织结构,演化为高逻辑层次的有序自组织结构,且具有逻辑(结构法则)的一致相容性。这种特性非常适用于描述生物界及生物系统、从简单有序到复杂有序的进化过程。其结构原理与法则,及参量的互为因果群结构动力学特性,无疑是模拟复杂系统结构与功能的基本前提,也是自然科学理论要解决的根本任务。

    4、有序及互为因果性

    参量是形式系统的描述对象或内容,逻辑是形式系统的结构法则,系统整体结构的定量形式化描述,即准全息元数学模型。相对于复杂系统,模型体现了形式与内容、逻辑与运算的统一性。作为一个形式系统,没有无内容的形式,也没有无形式的内容。内容(参量)依据逻辑法则,在宏观上表现一致可构造性,就可体现出参量的有序及互为因果性。互为因果性及逻辑一致性是有序的基础,也是自组织的基础。它保证系统在同环境的交互作用中,能实现自我维持、自我组织协调、自己创造(复制)自己。系统在内部协调、外部适应的基础上,能保证系统内耗最小、整体功能最优,系统行为或功能的预决性(即目的性)最强。

    参量通过互为因果交互作用关系形成稳定的有序结构,这种结构不会因外界的作用条件涨落而解体,相反,外界作用条件的涨落,可以强化序参量之间的协同或竞争作用,因序参量支配着子系统,因而亦导致子系统功能之间的相互强化与抑制,使系统的结构与功能,在更高的层次上达到相容有序及自组织。当然,这有特定的时空及物质与能量的交互作用为条件或背景,超越或改变特定的时空,或物质与能量的交互作用关系,系统无疑要改变演化形式及形态。从宏观上讲,系统的进化与解体(退化),亦呈互为因果关系,一种系统形式解体,就必然要有新的系统形式出现,而相对于更大的系统,已无所谓进化与退化,它只是物质与能量的存在形式,在更大尺度的空间发生循环演变而已。

    5、线性与非线性,连续与离散的统一性

    本文所指的非线性,是指系统参量群的逻辑关系,是两维以上的空间结构,如遵循加减逻辑法则构成的自然整数群结构,就属两维系统结构。在自然整数群体结构中,任何一个自然整数加减任何一个自然整数,其结果必然还是一个自然整数,这种逻辑关系建立在逻辑可逆性基础上,数群中的参量之间具有严格的互为因果关系,作为二值的中间值,具可数可列性。遵循乘除逻辑法则构成的有理数群,属三维系统结构,在有理数群中,参量之间[wang1] 的逻辑关系,并非是完全的逻辑等值关系,而是近似相等,如1与7的逻辑运算值0.142857, 通过增加循环周期,可以无限逼近等值,但永远也不会完全相等,其逻辑关系只具近似可逆性。如作为二值的中间值,则具有不可数可列性。相对于两维系统,因其结构是三维的,所以结构相对要复杂的多。但它一定能相容两维系统。

    至于连续性,一是指系统要素的参量标度,可以无限微细化,可在任意精确度水平上进行模/数、数/模转换,一是指系统的建构及发展,是个无限的渐进过程。相对于离散性,连续性是系统趋向准完全或准全息参量化的动态过程,离散性则是连续性的定态阶段化体现,没有离散性,就无法描述系统的特定结构,也表现不出趋向准全息的阶段性,没有连续性,系统就不能表现出渐进的自组织过程,也不会趋向准全息,因而两者具有统一性。但因存在参量的非线性因果关系,两者永远也不会达到完全的统一,统一仅是相对而言的。

    6、二值、多值与准多值逻辑的统一性

    系统参量既可以是连续量,也可以是离散量,既可用二值表示,也可用二值的任意中间值表示,在现实世界中,多值、二值、及二值的任意中间值,其逻辑基础无疑是具有统一相容性的。

    在客观现实中,只有准多值逻辑才能反映事物的本质特征,只有在准多值逻辑的基础上,才能确定二值的任意隶属关系或隶属度,这在传统的二值逻辑中是难以想象的,二值只是准多值的极端化特例。

模型的逻辑基础,在相容二值逻辑的基础上,具有准多值逻辑特性,即在二值中间可增加任意值;可无限接近连续值;可确定各类参量的各种数学基本运算关系,其逻辑特性具有元逻辑特性,可相容各种逻辑功能。所以模型可在准多值逻辑基础上,确定任意二值隶属关系或隶属度,完全满足二值、多值及近似确定值、或近似隶属值的逻辑处理,从而既能描述及处理确定性问题,又能描述及处理连续性问题,既所谓的模糊性问题,同时还能一致有效的描述及预测未知参量。因而模型的逻辑基础,具有确定与非确定、有限与无限、可逆与不可逆、对称与非对称的统一性、及辩证逻辑特性。

7、关于突现及自组织的数学解释

单一参量(代表一种状态)不可能突现自组织系统特性,只有某类参量群体才能突现系统特性及特定的功能。某类参量群体并非凭空突现系统特性及特定的功能,某类参量之间必须通过具体物质媒介,建立实际的互为因果交互作用关系――一个实在的物理实体。如整数通过具体的媒介建立起交互作用关系群体,就能突现加减运算关系及功能。反过来,我们可以视加减运算关系为作用关系群体的组织法则,说明任意一个自组织的创生都不是无原则的,它们一定要遵循某种法则。假设在这一群体中取出任意一个参量,都会破坏这种运算关系,或导致这种运算关系及功能不成立。因而突现的前提必须是建立某类参量群体的具体交互作用关系。

五、准全息元数学模型的应用

    准全息元数学模型的应用是非常广泛的,现举例说明如下:

    1、作为人类思维的形式化演绎模型是理想的,其参量之间的互为因果逻辑关系,即可以避免描述对象的岐义性,又可使逻辑推理具有可逆性,且符合辩证逻辑规律。最关键的是可使任意概念,都能与人类全部知识背景密切地联系起来,并以算术逻辑、即准多值逻辑为基础进行处理。

    德国哲学家莱布尼茨,早在一六六三年,就曾设想创立人类思想的字母表,然后通过由字母组成的联系和词的分析,使其它一切相关的意义及词项都能被发现和判断。作为一种普遍语言,它既包含发现新命题的技术,又包含有关这些新命题批判的考察技术。这种思想的产生,是莱布尼茨认为一切争论的产生,都是由于在事件中缺乏明析的表达手段。如对一切事物都能指派特定的特征数字,用数字代替字母定义事件,以便在演绎验算中,分清事物的内在因果逻辑联系和次序,并将逻辑推理变为数学演算,因而一旦占有了代替事物本身的特征数字,然后用运算代替逻辑推理,就可以从根本上避免岐义性。同时用组合或分解概念的正确方法,就能够重新获得所有的东西及其理论依据。其每一个概念,都可以通过互为因果逻辑关系,从其它概念中推导出来,且这种互为因果逻辑关系,始终是处于辩证的合理联系及系统规范之中。莱布尼茨的这种思想,确实具有理想化的特点,一般说来,信息可以表现为自然语言,或形式化的抽象语言及符号,为了讨论、传递及处理,把它转换成数字的形式是有好处的,有时甚至可以说是必需的。人脑的思维, 就是把符号、图象或语言编码,转换为能流“量”的形式,进行组合与分解。这样就可以将形式系统内的命题推断,转换为关于数值的运算,将关于符号、符号串,及其序例的陈述,转换为关于数值及其算式的陈述,但这必须有一个具体的整体形式化系统模式,即有一个形式与内容、逻辑与运算相统一的、便于形式推导及演绎的、具有内在统一结构与功能的形式系统,使任意信息都能在全部信息背景中互相定义、互相解释、互相转换。但莱布尼茨本人并未创立起这样一种形式化系统,因而倍受非议,有了准全息元数学模型,莱布尼茨的基本思想已具有实现的可能,准全息元数学模型,就是莱氏所说的人类思想的字母表。

    2、作为脑模型或智能机的逻辑结构模式

    对人脑神经系统进行有效的形式化描述,及逻辑或参量的因果关系描述,是构造人脑神经网络模型、或智能计算机的先决条件。

    对系统进行整体形式化描述,是为了把握人脑神经系统的整体结构特征,是将结构和功能、形式和内容溶为一体的前提下,把握系统中参量之间的联系与转换特征,及子系统之间的自组织协同作用――功能耦合特征,还有最优化的系统结构特征。

    逻辑描述或参量关系描述,是描述系统的结构形态、及结构法则;是利用点、线、面,抽象、形式地、反映信元及符号、参量、或能量流的流通、与变换途径,或因果交互作用关系;是描述反映神经结构的构成法则,或记忆单元内在相关作用的整体组织、或因果关系规则;是通过特定的表达形式,描述参量或要素之间的因果关系,及交互耦合作用关系,反映正、反、和、对立统一的辩证逻辑法则;是反映离散、聚合、多维立体的动力学作用结构的构成法则;是为每一条信息传递通道、或知识记忆单元确定参量标志,以便互相定义、互相译释、互相区别、互相转换。

    准全息元数学模型,遵循一个统一的、相容而又开放有序的结构法则,可以保证任意一个参量都既具有独立性、又具有与全部信息单元的逻辑相关性,同时具有因果关系的唯一确定性,及多元逻辑的一致有效相容性。这种结构法则,既是参量因果关系的逻辑法则,又是子系统的功能耦合法则。它可体现全部信息单元的内在因果联系,使模糊与精确、连续与离散的量化信息(包括模拟量),进行有机统一的逻辑关系转换,且能保证处理的精确性,保证结果表达的灵活性――能确定任意一个表达的因果隶属范畴,因而具有所谓的模糊信息处理功能。

    模型的每一个参量作为要素的标志,可以定义人脑的每一个记忆区(点),或信息传递通道,同时定义相应事物――知识或概念。通过参量既可以相互区分并显示具体概念、或子系统的相互独立性,又可以代表所要传递及记忆的具体内容及意义,因而,以准全息元数学模型为逻辑结构模式构造智能机或人脑模型,可体现人脑神经结构及功能的很多本质物征及属性(另有专文说明)。

    准全息元数学模型的问世,可以充分说明经典数学并非仅限于人脑思维的外向映照,而且能同时对人脑神经结构作一种内向的同构摹写,作为人工智能系统的有效数学原理,或逻辑结构模式。

    早在一九四八年,冯·诺依曼就曾指出:“要创造功能确实很强的计算机,有三个急需解决的难题:一是元件体积大,二是元件可靠性差,三是缺少构成复杂系统的逻辑结构模式及方法”。有了准全息元数学模型及微电子科学技术的长足发展,冯·诺依曼所说的三个难题,可以说得到基本解决。但距构成一个人脑模型,并能真正地类比人脑思维,还需解决很多具体问题,如能量转换及编译码机制;各种行为效应及质、量、形的感知机制;符号、语言、图象与特定的参量匹配及相互译释机制;子系统之间的功能交互转换作用机制等。随着这些问题的有效解决,具体构造一个类比人脑智能的人工智能系统,就只是一个时间问题。

    3、作为系统理论的数学模型

    系统不能通过还原分析,把它们割裂为孤立的要素和部分,一般来讲,在复杂系统中,非线性的相互作用,必然要相容线性因果作用关系,对其多值测度的分析,也必然要相容独立值,或单值测度的分析。人们通过对事物发展的多种可能性估价,通过多种可能的因果作用机制,可以使事物向既定目标转化。如果把人类确定目标的“附加主观性”,与对象演化的“可靠性”空间结构形态有机地结合起来,把各种不确定因素随机纳入系统整体中加以考察,就可能找到由不确定向确定性转化的联系法则,实现对系统进化规律的揭示与把握,进而说明诸如生命系统的自组织性、目的性、主动性的哲学意义。相对于社会经济的发展,则有了宏观调控的自组织原理模型。

六、结论

    显然,相对于复杂系统的功能模拟,仅有定性描述是远远不够的,还需有定量形式化及结构描述。准全息元数学模型,作为人工系统的数学原理,无疑是理想的。它不仅能从变化发展上摹写系统的整体活动特征,而且能从有机整体联系上,描写事物间的关系和结局。且符合系统整体辩证逻辑的自组织法则。周易,虽也是系统哲学思想的一种整体定量形式化描述,同样形式化地说明了事物整体发展变易的基本规律,为人类提供一种认识世界的整体思维模式,表达了整体世界图景的一些本质特性,但准全息元数学模型与其相比,则更为精确和全面,主要表现在描述精度与形式不同,周易仅限于整数参量及二值逻辑描述,体现不了参量之间内在自组织关系,模型则是系统结构的整体描述,可体现参量之间的内在逻辑关系,因而比周易更具实用性。

    准全息元数学模型立足整体统筹全局,使整体和部分辩证地统一起来;使质变与量变、有限与无限、及结构与功能的考察内在地统一起来;同时使复杂系统结构在与真实结构相似同构的基础上,形式化地再现于三维空间;体现了宇宙演化必然性与偶然性的统一;为复杂系统的运动状态和自组织的把握, 提供了静态描述摹本;为复杂系统的人工模拟提供了有效的数学原理。准全息元数学模型,既为系统思想及哲学理论提供了定量描述的有效形式,又为系统哲学思想及理论研究的深化,提供了研究摹本,是自然科学理论及哲学思想在更高层次的综合与概括。

    主要参考文献:

1.皮亚杰(瑞士)著,倪连生等译,结构主义,商务印书馆,1984.11

2.王雨田,控制论、信息论、系统科学与哲学,中国人民大学出版社,1986年5月

3.祖庆年译,莱布尼茨自然哲学著作选,中国社会科学出版社,1985.4

4.钟明,系统自组织与自然目的性,哲学研究,1988(8)

5.陈连涛,论科学认识数学化的原因,哲学研究,1988(7)

 6.中国社科院哲学研究所逻辑研究室编,数理哲学译文集,商务印书馆,1988.9

    7、王迪兴,准全息元数学模型—智能机的理论基础,全国首届智能机器人学术会论文,1988.10西安

    8、让娜·帕朗·维亚尔著,张来举译,自然科学的哲学,中南工业大学出版社,1987.5        

    9、王迪兴,脑神经网络模型及其基本结构,中国首届神经网络大会论文,1990.12(北京)

    10、朱水林,形式化;现代逻辑的发展,人民出版社,1987.5 

    11E·拉兹洛著(美)系统哲学讲演录,北京·中国社会科学出版社,1991年7月。    

   

    注:本文原载于98年第四期“系统辩证学学报” 。