字符多项式与表格数学

摘要：本文提出一种新的数学工具，称为“字符多项式”。它可以描述选举、颜色、中药、乐谱、表格等很多事物。字符多项式为一些学科引用数学工具提供了新的思路和技术。我们发现字符多项式与表格是等价的，研究它还可以发展表格数学。

1.引言

广泛引用“符号”表示一类事物是很多学科走向科学化的重要环节，也是引入数学分析和逻辑分析、发现客观规律的前期准备。符号化和数量化的程度是一门科学的成熟程度的标志。皮亚诺（G.Peano）说“在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反映”。

现在的很多科学分科以定性描述为主。这些学科由于没有引入合适的符号，它至今可能还没有站在“科学”的起跑原点上。基本概念和事实的符号化对于很多学科是重要问题。

我们发现一些与数学交往很少的领域（如选举、颜色、中药、乐谱等），可以利用一种类似多项式的符号统一表示它们。我们把这种表示形式暂且称为字符多项式。字符多项式可以在各种学科中找到大量的实例，这为很多学科走上符号化和利用数学成果打开了道路。

我们经常使用各种表格。“表格”不仅是更规范化的语言，也是字符多项式的变态，一切的表格都可以化为对应的字符多项式。

字符多项式是一种符号化的描述事物的方法，也是数学研究的对象。揭示字符多项式的规律会支援定性的学科走向符号化、数学化。对字符多项式的研究还可以发展表格数学。

2.字符多项式

字符多项式与普通代数学中的多项式有类似的外型，主要区别在于它的“符号”一般代表着“字符串”而不限定它仅代表“数”。一般用斜粗体的字符如A，B等表示某个字符多项式。它的写法与代数中的多项式类似。对字符多项式A一般写为

上面仅有一个求和符号的字符多项式称为一阶字符多项式。二阶的字符多项式是

B=a₁,₁x₁y₁+a₁,₂x₁y₂+…+ a₂,₁x₂y₁+a₂,₂x₂y₂+…

它有两个求和号（其a_i,_j对应一个矩阵），余此类推。仅有一项（没有求和符号∑）的字符多项式是零阶的。

字符多项式的各个x_i（i=1，2，…，k）一般称为字符多项式的变量。a_i称为“函数值”，它的地位与一般多项式的系数类似，而变量和函数值都可以是“字符串变量”（计算机语言）。即它们在一般情况下是一些名词，仅在特殊场合是数值。变量和函数值可以是“字符串”，这是它与一般代数学里的多项式的区别。∑显然是沿用数学中的求和符号，所以本表达式包括了加法（“+”号）。“+”号一般表示“和”、“还有”、“ 以及”、“随后”等等。它具有该字符多项式特有的运算含义。有时为了避免变量与函数值中的数值混淆，可以把变量放到括号中。

3例子

1、身高（物理学）：用A表示某人的身高为1.7米（m），就得到了一个仅有一项的多项式：A=1.7米。这里1.7是函数值，“米”就是x这个字符串变量的值。本例说明物理学中含有单位的表示物理量的方法本身就是字符多项式的特例，它对应的是零阶字符多项式。

2、矢量（数学）：平面直角坐标中的一个点A距x轴的原点有3个单位距离，距y轴的原点有4个单位距离（3，4），数学中可以写为3i+4j ，这里i、j 分别是x、y方向的单位矢量。解析几何学中的这种表示一个点的位置的方法本身符合我们的字符多项式定义。把这个点记为A，有A=3i+4 j这说明数学中的一种表示向量的方法也是字符多项式的特例。我们可以把字符多项式看作是一个矢量。“+”号在这里表示矢量运算中的加法。

有了定义和这两个例子很容易用它表示例如分子式、选举、颜色、中药、乐谱等各种事物。

3、分子式（化学）：过去用H₂S0₄表示硫酸分子。但是它也可以用字符多项式表示为：硫酸分子=2H+S+4O 。H、S、O在这里分别表示一个氢原子、一个硫原子和一个氧原子，而2，1，4分别是对应的函数值（函数值为1时，1省略，这随了数学上的惯例）。“+”号在这里表示“还有”。

所以每个化合物的分子式都可以用字符多项式表示。化合物有上百万种，于是我们也有上百万个字符多项式的实例了。

4、选举（社会学）：甲乙丙三人为被选举人，一次投票结果用字符多项式表示为A=56甲+44乙+5丙，其含义当然是甲得了56张选票、乙、丙分别得44、5张。所以每个选举结果都是一个字符多项式。“+”号在这里表示“还有”。

5、颜色（美术）：如何表示一种颜色？在美术界和计算机中的一种做法是把任何一个颜色A用红、绿、蓝三种颜色的不同权重来表示。如果有A=100红+75绿+210蓝，A就符合字符多项式的定义，如果规定函数值的最大值为225（电脑中就这么规定），那么上面的字符多项式就表示了一个确定的颜色（本例为紫色）。红、绿、蓝就是本字符多项式中的三个字符串变量的值，而100，75，210分别是对应的函数值。所以每个颜色都可以用一个字符多项式表示。“+”号在这里表示“还有”。

6、中药（医学）：一付中药的配方是：党参20 g 茯苓15 g 白术10 g甘草6 g陈皮8g 枳壳12g .它显然可以用字符多项式表示为

“+”号在这里表示“还有”。素来不与代数学交往的中医开的处方都是一个字符多项式，这可能是人们始料不及的。一个中药铺有100个抽屉，每个抽屉分5个格分别放着名称不同、重量不尽相同的中药，把500种药材的重量做为字符多项式的系数、把药材名称作为对应的变量值，就可以用一个字符多项式表示了一个药铺的全部存货了。所有的西药、所有的罐头、袋装食品材料等等都有具体明确的成分。这些成分都可以用一个字符多项式表示。

7、乐谱（音乐）：音乐界用五线谱上的很多音符描述一个乐曲。用音符在五线上的高低位置描述声音的高低，用音符的形状描述该声音维持的时间长短。如果把每个声音分别用不同的字符串表示，例如DO ，MI ，SO ，分别描述三个音，字符多项式A=0.25(DO)+0.25(MI)+0.5(SO) 中的各个系数表示维持时间，那么这个字符多项式就描述一段音乐。所以，所有的乐曲都可以理解和表示为一个有序的字符多项式。“+”号在这里表示“随后”。

8、操作（程序）：我炒一道菜，其中拣菜用4分钟，洗菜2分钟，切菜2分钟，炒菜8分钟。字符多项式A=4(拣菜)+2(洗菜)+2(切菜)+8(炒菜)，就可以描写一个炒菜过程。很多生产工序（过程、操作、电脑程序）也可以用有序的字符多项式描述。“+”号在这里表示“随后”。

9、体检表（表格）：现代的常规身体检查多是给你一张表。然后自己走遍医院里的若干科室去检查、化验，由医务人员填上你的身体的对应项的值。例如血压80/130，脉搏80，身高1.7米、体重75千克等等。这些显然也可以用字符多项式表示（注意把单位也写清楚）。此外在体检表的某些栏目中写一些文字（字符串）而不是记一些“数”。例如在血型栏记上A，以表示你是A 型的血，在B超栏又写另外的文字。

A=80(低压，汞柱，cm)+130(高压，汞柱，cm)+80(脉搏，每秒次数)+A(血型)+心律不齐（心脏）…“+”号在这里表示“还有”。

注意到我们定义的字符多项式的函数值也可以是字符串，那么各种表格都可以改用字符多项式的格式表示。

10、年龄身高调查表（二阶字符多项式）：对397名小学生的年龄和身高做了一次调查。学生年龄与姓名对应起来就得到一个有397项的字符多项式，也得到了一个关于学生姓名和身高的字符多项式。但是利用这个资料也可以归并为没有姓名的二阶字符多项式，用以表示不同年龄不同身高的学生各有多少：

这10个例子初步说明只要理解了字符多项式的含义，就可以把统一的字符多项式格式用于过去人们根本想象不到的很多领域中。

4由来

赵克勤创立集对研究领域^[1]，他把两个事物的关系，区分为相同的部分、相异的部分和相反的部分，规定用联系度μ综合表示它们的权重。提出了联系度的公式为μ= a+bi+cj

这里1，i，j分别代表“联系”中的“同”，“异”，“反”三个含义不同的词，而a，b，c是系数（实数）分别代表“同”，“异”，“反”的权重。赵克勤等人用它分析了很多事物。联系度公式也是一种字符多项式。赵克勤公式是字符多项式的一个思想来源。

提出字符多项式主要是基于笔者把统计物理学中的分布函数概念推广时被迫引入广义集合概念^[2]，而新创立的广义集合多项式可以描述各种离散型的分布函数。把广义集合多项式再推广，就成了字符多项式。

物理学对有单位的量的写法、数学中矢量的表示法、复数的表示方法、文献[3]（描述语言）和文献[4]（讨论操作和程序）都是字符多项式的特例和思想来源。

5初步说明

有单位的物理量（如身高1.7米）和矢量都是字符多项式的特例。所以字符多项式是数学、物理学中表示事物的方法的延伸。我们的创新点是把过去的“量”的单位，或者“矢量”的单位扩展为更一般的“字符串”。而在计算机语言中“字符串”已经是一种特殊的变量有自己的运算规则。字符多项式是计算机的字符串变量概念的延伸与应用。

乐谱和炒菜两个例子中的字符多项式是有固定顺序的（不可颠倒的），其他例子与顺序无关。我们初步把字符多项式分为有序字符多项式和无序字符多项式两种。

字符多项式定义中的函数值和变量都可以是字符串，这使得谁是变量的问题模糊化了。我们仅一般地把“变量”对应于物理特点说明（例如单位），而把函数值对应于该单位的事物的“个数”或者“情况”，而有些情况也不尽如此。所以也不必对“函数值”与“变量”的含义做过分认真的区分。

字符多项式中的变量可以理解为一个集合里的若干元素，如果每个元素都有唯一的一个函数值与它对应，也就代表了一种“映射”（函数关系）。我们定义的函数值实际就是该元素的映射对象，从这个思路出发我们称它为“函数值”。所以也可以把字符多项式理解为带有函数值的集合。

字符多项式是新的符号化的数学对象。如果明确该多项式具有某些运算规则，它就成为一种新的代数系统，其规律显然有别于一般的“数”。本文的中心任务是提出新概念，而研究运算规律是另外的任务。

6更多的例子

A₁=24甲+11乙+13丙+0丁，A₂=12乙+52丙+7甲+21丁，A₃=7丁+15丙+24乙+8甲。试统计谁当选了，用初等代数中的多项式做什么运算可以得到结果？它启示了什么？

l 一种君子兰的花有6个花瓣、6个雄蕊和一个雌蕊，试以多项式表示它。

l 一场演出包括4个歌曲、3小品、5个舞蹈、3个杂技，试以多项式表示它。

l 用字符多项式格式把中国清朝各个皇帝的在位时间依序表示出来。

l 用字符多项式格式写出氧原子内的电子在各个层次中的分布

l 用字符多项式格式写出一幅黑白电视画面（设横向为30格点，纵向为25格点。用两个求和格式，即变量为二元的）

l 象棋的对弈过程在象棋界过去是如何规定的，它可以用字符多项式表示吗？

l 电脑在完成任何一个任务时都还原为它的机器码的按顺序的一系列动作。把这个连续的动作看成是有序的函数值（如果它代表动作占用的时间都是一个指令周期的时间长度），把这个原程序看成是有序字符多项式妥当吗？

l 据说人体的生物基因工程就是准确了解一个非常长的基因码，它显然可以写为一个字符多项式格式。如何理解这个字符多项式目前还是问题，试估计对比电脑程序的字符多项式和遗传基因字符多项式的格式是否会对理解生物遗传秘密有帮助？

l 把一切语言的文本（文本文件）都看成是字符多项式妥当吗？

l 总统的选举、论文的投稿、职称的评定、炒股票、公务员上下班可以用字符多项式表示？

l 当电脑的通讯口（如RS232规格的串行口）把文本、表格、图像、音乐等等向外传送时，它仅是把一长串的“0”或者“1”传了出去。电脑技术的这种成功是否说明上述事物都可以表示为字符多项式？

7表格的数学

有人写文章罗列很多数字，但是把数字组织到表格里会一目了然。这说明“表格”在描述事物中非常实用。确实，“表格”是更规范化更有组织的文字。现在要说明所有的表格都可以用字符多项式表示。

例3中一个硫酸分子可以用一个字符多项式表示了，但是它也可以用表1表示。

原子名称	氢 H	硫 S	氧 O
原子个数	2	1	4

把硫酸分子的“表格”的表示方法与字符多项式表示方法比较，我们看到字符多项式是用一行（也可以非常长）把表中的两行的内容归到一起，并且表示出来了。表中左端原子名称和原子个数在字符多项式中没有出现，它可以在解释字符多项式的意义时予以说明。

自变量	sin0°	sin30°	sin60°	sin90°
函数值	0	0.5	0.866	1

表2是关于数学中的正弦函数值的一个表，它写成字符多项式就是

它显然可以扩大为每0.1°一个值，这就变成三角函数表了。既过去的“函数表”写成字符多项式的格式了。

稍做分析就可以得到一个结论，第3节的2-9例可以分别用两行多列的表格表示。这些事例对应于我们定义的一阶的字符多项式。

还有很多的表格是多行多列的。它们展成平面上的一批有序的数或者字符串。这些事例对应于二阶字符多项式。

如果调查了397学生的年龄、身高和体重，并且问不同年龄、身高和体重的学生各有多少，我们用一个表格是不够的，而要用多个表格。这时用表格表示它就笨拙了。但是用三个求和号的字符多项式可以描述它们。其函数值对应一个张量，它是立体的数据结构。

	5岁	6岁	7岁	8岁	9岁
1-1.1m	4	5	3	2	0
1.1-1.2m	14	30	50	40	12
1.2-1.3m	7	35	37	50	24
1.3-1.4m	0	1	8	25	50

迄今，各种表格都仅仅是便于视觉接受的一种特殊单元。它不是运算的对象。多项式是可以运算的，现在明确了表格与字符多项式对应，于是表格的运算规律问题也就提上日程。

8运算规律

我们指出很多领域的事物、过程、表格都可以用字符多项式来描述。这既是我们描述客观事物技术的进步，也是为寻找客观规律提供阶梯。普通代数学中的多项式有一系列的运算规律，新的字符多项式有那些规律？

笔者曾经针对广义集合的多项式（一种特殊的字符多项式），找到了一些运算规律^[2]。确实，一旦规定了对字符多项式的一些运算，就必然得到一些运算规律，这也就提示我们字符多项式是一个代数系统。

如果我们为各种类型的（代数学中的多项式仅是其中的一类）的字符多项式找到了对应的运算规律，那么关于表格的运算规律也就水到渠成，一门“表格数学”也就诞生了。

9结束语

一切学科应当充分引用数学。但是引用数学的一个前期工作是使该学科的事物“符号化”。如何才能把各领域的各种事物符号化？本文提出的字符多项式就是使很多领域的各种事物、过程、表格符号化的一种新的思路与技术。字符多项式概念的引入为一些学科引用数学规律开辟了道路。这也开阔了数学领地，推进了数学的应用。

分析显示每种表格都对应一个字符多项式。研究字符多项式也推进了对表格的运算规律的研究，于是“表格数学”呼之欲出。

规定了（明确了）字符多项式的运算就得到了运算的规律，而这就构成了一个“代数系统”。至于各种字符多项式的具体规律有那些，这应当是各个领域的学者下一步的研究课题。

2001年6月笔者在广义集合多项式^[2]的基础上提出字符多项式概念，并且写成初稿给在美国读研究生的崔旭同学看过。后来知道邹晓辉先生创立的“融智学”中也有类似思想和表达式。在学术交流中邹先生来信说：“您提出用多项式定量表达知识的方法与我提出的文化基因通式之间，不仅在数学方面有联系的渊源，而且在知识的计算语言表达方面也有联系”。在邹先生的思想鼓励下我把初稿修订成本文。这里顺向邹先生、崔旭同学表示感谢。

[1] 赵克勤，集对分析及其初步应用，杭州，浙江科学技术出版社，9-17，2000

[3] 黄顺基编，信息革命在中国，北京，人民大学出版社，196-230，1998