重力场中热力学的研究（4）

第三章 “均熵方程”的导出

“均熵方程” (“比熵平衡规律”) 的导出是本课题的最基础性研究, 为了说明“均熵方程” 是正确、可靠的, 笔者提供4种导出方案, 这样可以适应不同读者的需求, 其中用“定熵流动过程” 导出“均熵方程”笔者认为是最通俗易懂的。这4种导出方案各有特点, 其中也难免会出现晦涩之处, 特予说明。                         

一. 用“定熵流动过程” 导出“均熵方程”

本文从“定熵流动过程”出发, 导出当闭合的流体系统处于“平衡态”时, 各点比熵保持相等的重要结论, 即获得了“均熵方程” (“比熵平衡规律”),从而

揭示出“平衡态” 流体系统存在的一条客观规律。

1  引言

在忽略外场时(自由空间) 或在同一等势面上, 闭合的流体系统达“平衡态”(死寂状态)时, 系统各点的一切宏观物理参量都保持相等, 这里包括各点比熵s、比内能u、比焓h等均保持相等, 当然各点的温度、密度、压强更等于同一常数。

现在, 本文感兴趣的是当闭合流体系统处于恒定的(对于时间) 力场中(非等势面) 达死寂(定熵) 状态时, 各点的宏观热力学参量又如何呢？当然, 人们早就公认, 在力场中安静的流体内密度和压力是不均匀分布在各点的,即有▽ρ≠0, ▽P≠0, 那么,此时体系中各点的比熵是否也能保持相等呢？即▽s=？, 本文将就此展开讨论。

2   定熵方程

《流体力学》教科书明确指出, 当流体(如进入超流状态的液氦)作绝热可逆的流动时属定熵过程, 满足定熵方程。为了对定熵过程有个直觉感, 建议暂考察进入超流状态的液氦流。这当然属于绝热可逆定熵流动过程。  

而《热学》教科书明确指出, 不为无穷小的有限温差所驱动的传导热流是具有确定的方向的, 即属不可逆返的物理过程。若某热力学过程含有这种定向传导热流, 则注定这一物理过程必为不可逆过程, 而对于一切可逆的过程, 必定不会出现这种定向传导热流,故可知进入超流状态的液氦流(其属非准静态可逆过程), 必然不含密度为非无穷小的传导热流, 即该流体内处处恒有 。

这就意味着在这种绝热可逆的定熵流中各质元(粒子团) 恒保持其热孤立(绝热), 而对于热孤立的质元在可逆过程中必然保持其比熵s的恒定(对于时间), 即有

s[x(t),y(t),z(t)]= 常数                         (1)

或                                                      (2)

(1) 式中,x(t),y(t),z(t) 分别表示某质元在不同的时刻t所处的空间位置可以不同, 这是追踪某特定的(流体)质元进行考察的方法, 即所谓的“拉格朗日法”,(1) 式是定熵过程的另一数学表达式, 即定熵过程的又一数学模型, 此可谓一般形式的定熵方程。

若用数学语言表述则如次: 因热流连续性方程为

                         (3)

(3) 式中, 为热源强度, 为热流密度矢, 为流体元的体积, 为该流体元对热量的吞吐率, 即为其单位时间所吸纳或释放的热量。(3) 式中：

                                                      (4)

(4)式中, 为流体元的质量, 为流体元的比熵变化率, 为该流体元单位质量单位时间所吸纳或释放的热量。

将(4) 式代入(3) 式得

                                               (5)

因为在绝热可逆过程中体系处处恒有 ,则必有

                           (6)将(6) 式代入(5) 式即得(2) 式。

3   均熵方程

从数学角度看, 定熵方程(2) 式为一种复合函数, 其空间坐标x(t),y(t),z(t) 为中间变量, 依复合函数的求导法则有

,式中 ,可令

又因 ,故有

亦可写成                                               (7)

 (7) 式中, 表示某质元的坐标变化率(矢量), 表示体系的比熵梯度。

由上述的讨论可知, 无论流体中各质元的坐标变化率如何, 必然恒满足(1)式或(2)式, 故(7) 式的成立与其运动状态毫不相关, 由此立即获知, 必然恒有

                               (8)

(8) 式精确地揭示出定熵(熵产率为零的) 流体系统中普遍存在的客观事实, 即各点比熵相等的规律。揭示这一规律的(8) 式可称为“均熵方程”, 亦可称为“比熵平衡规律”。

4   关于“均熵方程” 的讨论

    对(8) 式还可作一种直观的理解：因为当定熵流进入无力场或等势面上作匀速直线流动时, 显见此时流体中各点具有相同的压力、密度和温度, 当然其各点流质的比熵也必然相等。又因各流体质元在可逆流动过程中一直保持各自的比熵不变, 亦即各流体质元在其流动过程一直保持相等的比熵关系。这当然包括它们处于任何可逆流动状态, 如加速状态或沿场力线匀速流动状态, 均保持其比熵相等的关系, 因绝热无粘滞、无耗散的流体流, 如进入超流状态的液氦流完全可以进行各种方式的(如加速或沿外场线匀速的) 流动, 而且这些形式的流动均属可逆的定熵流动。由伽里略相对性原理还可知, 当流体(如沿场力线)匀速流动时, 完全等效静止(于力场中)的情形,故静止(于力场中)的流体如气体、液体处于绝热安静(熵产率为零的状态即处于平衡态) 时, 必具有各点比熵相等的关系。经如此的讨论使(8) 式的物理意义更为凸显。

平衡态(流体) 系统并不存在宏观的粒子流源, 即 , 为粒流密度矢, 也不存在热流源, 即 ,故并不存在熵流源 , 为熵流密度矢, 为导熵系数,k为导热系数, c_v为比热),故若比熵梯度不等于零 , 必然出现熵流 ,熵总是要从高比熵区流向低比熵区的, 直至比熵平衡为止, 熵流乃比熵趋于平衡的必然, 仅当比熵平衡时体系才得以安定。因势函数梯度总是要趋使一种流的产生, 除非被同一种流的它种动力(某种势梯) 所抗衡。

虽然本文的讨论是从进入超流状态的液氦流开始的, 但若承认超流体中存在比熵平衡规律, 则至少也要承认所有类型的流体,如气体、液体在绝热安静(死寂状态) 时也存在比熵平衡现象, 因为超流体与普通流体只有在流动时(对此问题的讨论) 才表现出差异, 即前者无粘滞性耗散而已, 而后者则不可避免地存在着粘滞性耗散。再则, 纵使普通流体不可避免地存在着粘滞性耗散, 而不可能实现无熵产的定熵流动, 但这种不计其粘滞性耗散的理想化方法所得结论仍然有效, 因为诸如卡诺定理等均是从不计过程摩擦系数而所作的理想化可逆过程进行讨论的, 故科学结论的获得完全允许运用理想化的过程(模型) 来进行讨论, 此并非本文的别出心裁。况且, 本文只强调在匀速直线流动和静止状态的一切类型的流体内必然存在比熵平衡的现象, 因为流体的粘滞性耗散只有在各流体质元相对滑动时才表现出来,对于静止的流体根本不必考虑流体的粘滞性, 还已知流体在静止时与匀速直线流动时具有一致的热力学状态。

5  结论与展望

我们依《流体力学》中“定熵方程”导出了“均熵方程”, 这使我们确信对于(尤其处于外场中的)平衡态体系必然服从(8)式, 即保持其各点比熵相等的关系, 即使在力场中绝热平静的准闭合、无熵产的流体内存在着密度梯度及压力梯度, 但并不存在比熵梯度。

由此(8) 式出发结合流体力学规律及相关的热学结论, 可异途导出许多已知的和未知的热学结论。