存在振荡原理（2）
—老子意义下的稳定性
陈雨思
( 四川大学,电子信箱 chenyusi5225@163.com )
2002年09月公布于熵、信息、复杂性网站
[摘要]
在系统稳定理论中，主要使用李亚普洛夫意义下的稳定性定义。但是，对于复杂和不确定系统，由于它的异质、非对称、非线性、非连续性、模糊、不确定和随机性性质，使得李亚普洛夫意义下稳定性定义的应用表现出局限性。本研究发现，系统的稳定是通过系统运动状态的回复来实现的，从而得到“稳定是运动的回复”的结论。本研究还发现，在《老子》一书中，有一个表达“稳定是运动的回复”的完整的稳定性定义，本文用数学化的语言对其进行表述，得到了老子意义下的稳定性定义。老子意义下的稳定性定义可以包含现代科学中的所有稳定性定义。本文根据老子意义下的稳定性对存在振荡原理进行了证明。
[关键词] 李亚普洛夫意义下的稳定性；老子意义下的稳定性 ；存在振荡原理
[中图分类号] N941.4 ［文献标识码］ A [文章编号]
在《存在振荡原理（1）—系统运动的普适判据》一文中，给出了存在振荡原理。存在振荡原理是说，形成同一性振荡的系统可能是稳定的。或者说，形成信息密度振荡的系统可能是稳定的。或者在更强的条件下说，信息密度保持恒定的系统可能是稳定的。
然而，这里发生了一个问题：什么叫稳定？如果这个问题不明确，则不能对存在振荡原理进行科学的说明。本文就来讨论一下系统的稳定性问题。
在《系统惯性与系统背景》的三篇文章中，为了研究系统惯性，曾经讨论过经典力学中的惯性概念、生物体系内稳态、控制理论关于“系统稳定性”和系统鲁棒性的研究，这些讨论都归结为系统“忍受外界作用的能力”的探索。
不过，系统惯性属于系统动力学范围，要涉及原因。而本文将要讨论的系统稳定性则属于系统运动学范围，不涉及原因。相同的地方是，它们两者都是反映系统“忍受外界作用的能力”的概念。
对稳定性的研究是自动控制理论中的一个基本问题。稳定性是一切自动控制系统必须满足的一个性能指标，它是系统在受到扰动作用后的运动可返回到原平衡状态的一种性能。关于运动稳定性理论的奠基性工作,是1892年俄国数学家和力学家 李雅普诺夫在论文《运动稳定性的一般问题》中完成的。
在经典控制理论中，主要限于研究线性定常系统的稳定性问题。判断系统稳定性的主要方法有奈奎斯特稳定判据和根轨迹法。它们根据控制系统的开环特性来判断闭环系统的稳定性。这些方法不仅适用于单变量系统，而且在经过推广之后也可用于多变量系统。
对于非线性系统稳定性的判别，李雅普诺夫第二方法至今仍是主要的方法。李雅普诺夫方法还被应用于研究绝对稳定性和有限时间区间稳定性问题。对于大系统和多级复杂系统，通过引入向量李雅普诺夫函数，可以建立判断稳定性的充分条件。
在研究绝对稳定性问题方面，不同于李雅普诺夫方法的另一个重要方法是1960年波波夫建立的频率域形式的判据。它的主要优点是可利用系统中线性部分的频率响应的实验结果。后来的研究表明，李雅普诺夫方法和波波夫方法在实质上是等价的。波波夫在研究绝对稳定性的基础上，在1964年进一步提出超稳定的概念和理论，并在1966年出版了《控制系统的超稳定性》的专著。超稳定性理论已在模型参考适应控制系统的分析和综合中得到应用。
上述研究成果为复杂和不确定系统稳定性研究提供了基础和启示。现在来分析一下这个问题。
在自动控制论中，所谓系统稳定性，是指系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。稳定性分为状态稳定性和有界输入—有界输出稳定性。其意思是∶
1. 如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。
2.如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。
3.如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。
4. 如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入—有界输出稳定的。
1892年，李亚普洛夫就如何判断系统稳定性的问题，归纳成了两种方法。
第一种方法是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。
第二种方法(也称直接法)的特点是不必求解系统的微分方程式就可以对系统的稳定性进行分析判断。
李氏第二法是从能量观点出发得来的。他指出：若系统有一个平衡点，则当t→∞时，系统运动至平衡点时，则系统积蓄的能量必达到一个极小值。由此，李亚普洛夫创造了一个辅助函数，可以用它来衡量系统储存的能量，但它并非一个真正的能量函数。只要这一函数符合李亚普洛夫提出来的稳定性理论准则，就能用来判断系统的稳定性如何。因此，应用李氏稳定理论的关键在于能否找到一个合适的辅助函数，这一函数通常称之为李亚普洛夫函数。
不过，寻找李亚普洛夫函数并没有普适的方法,要靠经验和技巧，而且所给出的结论只是关于系统稳定或不稳定的充分条件。这在逻辑严密的数学中也算一件奇特的事。
李雅普诺夫方法提出用能量函数来判断系统稳定性，值得引人深思。
李亚普洛夫意义下的稳定性的定义如下：
设对应于系统的初始条件可以划出一个球域S（δ）；另外，还可以划出一个球域S（ε），它能将y`=f(x,t) 的解φ（t;x0,t0）的所有各点都包括在内。设对应于每一个球域S（ε），都存在着一个S（δ），使得当t无限增加时，从初始条件S（δ）开始出发的轨迹，都超不出S（ε）之外，则称这一系统的平衡状态是在李亚普洛夫意义下稳定的。
以上定义中的ε，δ是范数。
（图1.稳定体系示意图；图2.李亚普洛夫意义下的稳定性示意图；图3.老子意义下的稳定性示意图；）
无疑，李亚普洛夫意义下的稳定性是具有重要意义的，它已经和仍然会在系统研究中发挥很大作用，然而，李亚普洛夫意义下的稳定性也有其局限性，它表现在以下几个方面：
1.李亚普洛夫意义下的稳定性是在数学意义上定义的，而不是就现实系统来定义的。
2.寻找李亚普洛夫函数并没有普适的方法。
3.李亚普洛夫意义下的稳定性是在系统连续运动的前提下来讨论的，而复杂和不确定系统的运动往往是非连续的。
以上只是从直观来看李亚普洛夫意义下稳定性定义的局限性，如果充分考虑复杂和不确定系统的异质、非对称、非线性、非连续性、模糊、不确定和随机性性质，则该定义具有更根本的局限性。
1.在数学上，对稳定性的研究集中探讨在微分方程平衡解附近系统的行为，然而，对于一个复杂和不确定系统，我们不仅不知道平衡状态，而且可能连系统方程也写不出来。
2.随着系统复杂和不确定的增长，系统不可能稳定在某些状态，而是稳定在许多状态，例如生物行为的复杂性。这就要求考虑系统许多状态的稳定性，甚至要考虑任意状态的稳定性。
3.复杂和不确定系统充满模糊、不确定和随机性，人们必须在既有确定行为，又有模糊、不确定和随机性行为的情况下来考虑系统的稳定性。
由于李亚普洛夫意义下稳定性定义的局限性，或者稳定性概念的局限性，就有必要进一步对复杂和不确定系统稳定性概念和稳定性定义进行研究。
为了对复杂和不确定系统稳定性概念和稳定性定义进行研究，必须涉及到关于运动与静止的哲学思想。
在哲学上，辩证唯物主义认为，运动是物质的固有性质和存在方式，是绝对的、无条件的；静止则是从一定的关系上考察运动时，运动表现出来的特殊情况，是相对的、有条件的。
在一些哲学教科书中，指出静止主要是两种情况：
①一切事物虽然每时每刻都在运动，但是某一具体事物在某种场合下可以不具有某种特定的运动形式。就其不具有这种特定的运动形式这一点而言，它是静止的。例如地面上的建筑物就其对地面没有作机械运动这一点而言是静止的。
②一切事物虽然每时每刻都在运动，但是并非在任何时候都发生质变。当事物还没有发生质变时，这个事物还是它自己，在这个意义上它是静止的。例如当原子核内质子数没有改变时，它仍然是一定的化学元素的原子而不是别种化学元素的原子。
如果人们追问一下，可能会发现这两条是相互联系的，可以用第一条解释第二条。因为质变也是特定的运动形式，在事物还没有发生质变时，它不具有质变这种特定的运动形式。就其不具有质变这种特定的运动形式而言，它是静止的。
这样，对静止的界定可以归结为一句话：静止是相对于事物不具有某种特定的运动形式而言的。
这个界定自然是不错的，但是，它还没有把“运动的绝对性和静止的相对性”这一个基本的哲学命题贯彻到底。因为一个事物具有的运动形式是很有限的，而它不具有的运动形式则是很多的，甚至是无穷的，如果事物相对于它不具有的“很多甚至是无穷的运动形式”而言是静止的，那么，又怎样说“运动是绝对的”呢？
可见，要把“运动的绝对性和静止的相对性”这一命题贯彻到底，不能光从一事物与它事物相比较的角度来讲，而要从运动本身的特性上来讲。
运动本身的一个重要特性就是运动形式的多样性。
虽然运动是绝对的，但是，运动形式却是多样的，在这些多样的运动形式中，可以简略地划分为两种运动形式。一种是从事物运动的起始状态离开的运动，一种是向事物运动的起始状态回复的运动。 从事物运动的起始状态离开的运动，决定了事物运动的一个特性，即变化特性，而向事物运动的起始状态回复的运动，又决定了事物运动的另一种特性，即稳定特性。事物运动的稳定特性，是事物运动同一性的体现。
如果事物从某起始状态出发，经过一定的时段后，又回到该状态，则事物状态在起始两个时刻并无区别而呈现出一定的同一性；如果不仅回复次数较多，而且回复时间较短，则事物的宏观特性就可以表现为恒定不变，事物就显示出静止或稳定的特性。或者说，事物的静止或稳定是通过事物运动的状态回复来实现的。因此就有“稳定是运动的回复”的结论。
由此就有关于“运动的绝对性和静止的相对性”的进一步解释：运动是绝对的，静止不过是事物运动状态回复而显示出的特性，故静止是相对的。
根据“稳定是运动的回复”的结论，就可以获得科学上的稳定性定义。
怎样根据“稳定是运动的回复”的结论来获得科学上的稳定性定义呢？这里，我们应该特别提到中国思想家老子关于“静”与“常”的思想，因为在这些深刻的思想中，包含着现代科学意义上的稳定性定义。为了表示对这位伟大思想家的尊敬，我们将下面给出的稳定性定义称为老子意义下的稳定性定义，而把根据这个定义而讨论的稳定性称为老子意义下的稳定性。
在《老子》一书中，有一个完整的稳定性定义，这个定义只要稍微加以翻译，并用较为数学化的语言来表达，就得到现代科学意义上的稳定性定义。
老子意义下的稳定性定义在《老子》第十六章中。在该章中，老子说道："夫物芸芸，各復归其根。归根曰静，静曰復命。復命曰常，知常曰明。不知常，妄作，凶。"
按照陈鼓应先生的翻译："万物纷纷芸芸，各自返回它的本根。返回本根叫做静，静叫做'復命'。復命叫做'常'，了解'常'叫做'明'。不了解'常'，轻举妄动就会出乱子。"
如果用较为数学化的语言来表达此段话的意思，就得到现代科学意义上的稳定性定义。
将"静"或"常"理解为稳定；"本根"理解为稳定的中心状态，则有老子意义下的稳定性定义：
设有一个球域 S(ε)，若由 S(ε)出发的轨迹，在时段△ t 内返回到S(ε)之中，则说这一体系相对于（S(ε)，△ t）而言是稳定的。
老子意义下的稳定性定义可归结为一句话：稳定是运动的回复。
老子意义下的稳定性定义可以包含现代科学中的所有稳定性定义。
对于李亚普洛夫定义下的稳定，由于从S（δ）开始出发的轨迹，都超不出S(ε)之外，这也相当于当轨迹进入S(ε) 之后，就由 S(ε)出发而运动，不能超出 S(ε)，说明它返回次数最多，体系相对于该领域是稳定的。
对于一般稳定体系，则将S(ε) 视为无限逼近平衡点xe的球域，则同样可用老子意义下的稳定性定义来加以概括。
老子意义下的稳定性定义还为概率稳定性提供了解释。一个体系在某一点具有一定的出现概率，则该体系在该点具有一定的稳定性。现代统计物理学正是基于此点之上。
老子意义下的稳定性还包括模糊稳定性及其它可能的稳定概念。
老子意义下的稳定性的直接对象，则是布尔状态的稳定性，如果体系由某布尔状态开始运动，在特定时区内又返回该布尔状态，则说体系具有一定的稳定性。
在老子意义下的稳定性定义中，有关"根"的理解，通常认为是一种虚无的浑沌态。不过，它也指一般非浑沌体系的稳定态。
《老子》二十五章中说："有物混成，先天地生。寂兮寥兮，独立不改，周行而不殆。可以为天地母。吾不知其名，强字之曰'道'，强为之名曰大。大曰逝，逝曰远，远曰返。"这一段话，是说"根"是一种虚无的浑沌态。
《老子》四十二章中说："万物负阴而抱阳，冲气以为和。"《老子》五十五章中说："知和曰常，知常曰明。"《老子》七十七章中说："天之道，其犹张弓与？高者抑之，下者举之；有余者损之，不足者补之。天之道，损有余而补不足。"这几段话，是说"根"是万物的"和"的状态，是一种非浑沌的稳定态。
关于稳定是运动的回复，在中国古代有许多论述。《庄子·齐物论》中说："方生方死，方死方生；方可方不可，方不可方可。因是因非，因非因是。"这里描述的就是一种不断地回复运动的稳定态。《黄帝内经.生气通天论篇》说："阴平阳秘，精神乃治；阴阳离决，精气乃绝。"《黄帝内经.气交变大论篇》说："夫五运之政，犹权衡也，高者抑之，下者举之，化者应之，变者复之。此生长化成收藏之理，令之常也；失常则天地四塞矣。"《黄帝内经》在论述治病原则时，说："谨察阴阳所在而调之，以平为期。"这里的"平"、"常"，就是一种非浑沌的回复运动的稳定态。
关于稳定是运动的回复，在明朝人来知德所著《易经来注图解》中有一个精彩的比喻，来知德说到"七日来复"时说："来复就譬如扇铁扯风箱相似，将手推去，又扯转来。来复者，是扯转来也，皆一气也。"来知德从这一基本思路出发，给出了一个来氏太极图，这个图，是对于"稳定是运动的回复"的形象表述（图4 来氏太极图-老子意义上的稳定性的形象表述）。
来氏图中央圆圈称为太极本体，也就是"根"，白者长则黑者消，反之亦然。此消彼长相当于状态运动偏左偏右，但无论偏左偏右，则都復回于太极本体。整个来氏图，表现的就是这种消长回复的周期运动。
值得指出的是，现代科学中原有的稳定性定义都是在数学意义上来加以定义的。老子意义下的稳定性则是从自然的本质来定义的。虽然它具有严格的数学意义，但却是直接针对于所有事物的，它融数学与事物为一体，因而更直观、更深刻。
为了理解老子意义下的稳定性的深刻意义，我们举两个例子来说明。
（1）一个受到某种作用的不规则运动的单摆是老子意义下稳定的吗？
设系统状态为α=0的点，若单摆通过α=0的点的平均间隔时间为△ t ，则当时段（t1, t2）大于△ t 时，单摆相对于α=0点是老子意义下稳定的。
（2）一个经常出差的人是老子意义下稳定的吗？假设该人平均每次外出时间为△ t ，则当时段（t1, t2）大于△ t k时，该人相对于他的家而言是老子意义下稳定的。
（3）若一粒子在液体中做布朗运动，它相对于体系中的某点是老子意义下稳定的吗？假设粒子在该点出现的几率为P≠0，则说它在无限时区内是老子意义下稳定的。
老子意义下的稳定性涵盖的现象极多，从单摆运动到心赃跳动，从核外电子运动到天体运行，从天气变化到人世变迁，从生物现象到心理现象，都可以用老子意义下的稳定性来加以描述。正如来知德说的："世道之治乱，国家之因革，山川之兴废，王伯之诚伪，风俗之厚薄，学术之邪正，理学之晦明，文章之淳漓，士子之贵贱，贤不肖之进退，华夷之强弱，百姓之劳逸，财赋之盈虚，户口之增减，年岁之丰凶，举辟之详略，以及一草一木之贱，一饮一食之微，皆不外此图。"
现在我们根据老子意义下的稳定性来对存在振荡原理加以证明。
1.设系统在初始信息密度S0之下，其可能的运行状态构成集合A；
2.再设有一个球域 S(ε)，有：A∈S(ε)；
3.再设信息密度振荡的周期为△ t 。
则当系统从初始状态a开始运动时,必有：a∈A∈S(ε)，即系统状态的变化是由 S(ε)开始的；在时段△t内，系统的信息密度回复为S0，则此时系统状态回复到A中，因为A∈S(ε)，也就意味着系统状态返回到S(ε)之中。根据老子意义下的稳定性定义，则该系统相对于（S(ε)，△t）而言是稳定的。
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