降水统计力学简介(2)（1999.11）

张学文

zhangxw@mail.wl.xj.cn

（新疆气象科学研究所，830002）

提要

我们曾经在1981年把统计物理学中的玻尔兹曼统计方法移植到气象学中的降水研究，这为认识降水现象提出了新思路，并且提出了“降水统计力学”一词。本文把这些年来本领域的进展做简要综合介绍。(1)部分介绍有关概念和原理，本部分（2）介绍应用实例等内容。

前面通过降水的面积分布介绍了把统计力学原理用于降水问题的思路。下面要说明这个例子与实际是否一致，还要把这个思路用到降水的其他问题上去。

玻尔兹曼的统计力学模型在约束条件（1）和（2）下得到了雨量在面积的分布公式（4、5）。我们用100多个全国暴雨,30多个新疆暴雨过程和一些美国暴雨过程的实例做了验证^{[3，12，13，14]}事实表明这些暴雨过程都与理论结论一致。这些暴雨尽管强弱大小不同，但是这仅影响公式（4）中的雨量平均值（不同的暴雨用不同的平均值）。而公式（4）是个相对面积的公式，它有足够的弹性适应不同大小的雨区和雨量。它可以用在不同的地区、不同的雨区面积大小上，也可以用在不同的降水系统中。事实说明了这个公式有普遍适用性。

马力^[15]还指出了这个公式也能用于全国的、新疆的和乌鲁木齐河流域多年平均降水量的分布。这个结果显示了分布函数的高度概括力。但是我们给的模型是对过程降水的。如何解释平均图的这个成果还得再做理论研究。

前面求得的降水在面积上的分布函数公式（5）是个连续函数。它右边计算出来的值是雨区内降水量每增加单位值时雨区面积的相对增加量。对这个公式做不同的积分可以得到不同意义的结果^{[3，12，15]}。

如果雨区总面积为A，而a 是雨量界于r₁ 到r₂ 的雨区的面积，为了求得面积a ，把公式（5）的右边从r₁ 积分到r₂ 就得到如下公式

例如预告在10万平方公里的面积上出现了一场平均雨量为 80mm 的降水，欲求雨量超过200mm 的面积，可以令r₁=200，r₂=∞ 代入上式得雨量超过200mm 的面积为

a=100000exp（-200/80）=8208平方公里（相对面积不足1/10）

用公式（5）还可以求出不同的雨量的降水的总水体的体积、雨量超过某个值的地区占总面积的比例等等。这些可以从文献^{[3、12，15]}中找到对应的计算公式。这些计算对水文气象预告都有实用意义。而文献^[16，17]还给出了计算的程序和图解。

雨量时程分布就是研究某地的（单点）一场（不是半场也不是固定时段）降水过程中不同降水强度的雨维持了多少时间 ^[3，8，18]。从统计力学理论上求这个分布函数的方法与求降水在面积上的分布函数的方法是一致的。其思路是：

把某地的历时为T 总雨量为R 的一场雨在时间上分成充分多的N 个时间小段，从统计上分析每个小时段的降水量都相等的降水过程不是不可能出现，但是它出现的机会比有的时段雨急有的慢的情况（对应另一种分布函数）要少很多。利用历时为T 总雨量为R这个事实可以列出两个与第3节的公式（1）（2）类似的约束条件。利用玻尔兹曼原理可以求出降水在时间上的各种分布函数中最容易出现的哪一种（也是W的值最大），它也就是最可几的雨量时程方程。其数学形式与雨量面积分布公式是类似的下式：

  （7）

公式中I 是降水强度（dr/dt），是本次降水的平均值，它由=R/T 得出。负指数型的函数说明降水强度大的维持的时间短，而弱降水维持时间长。左边计算出来的值代表了降水强度I每增加单位值时降水的相对（即%）维持时间增加的百分比。

文献[8，18]指出我们用了400多个中国长历时暴雨的雨量自记资料经过验证说明本理论公式与实际一致。这个公式比国外的纯经验方程的精度高又有理论依据。

公式（7）也可变换成如下形式^[3，18]

　 （8）

这里的R 是历时为T 的一场雨的总雨量，而r 是T 时段内的降水最强的时段t 内形成的雨量。r/R 的含义当然是相对雨量。利用T，t代入上式可以计算出t时段内形成的相对降水量。表（8）就是查算它的一个专用表^[17]。

表（8）一场雨的总历时为T，那么在t（t<T）时段内的最大相对降水量

如某地12小时下了80 mm 的雨，查表中上边的12小时对应的一竖行，可以得到例如6小时的最大降水是千分之847（即6小时最多降水为80mm×0.847=67.76mm ，而1小时的最大降水占的千分比是290 (即23.2mm)、20分钟的降水的千分比是127。其他情况的也都可以用内插计算。这里不再赘述。

表（9）列出了我们已经研究过的一部分降水分布问题。其他的从略了。

表（9）一些降水问题和它的分布函数表

表中的2 是研究一个降水过程的各个地方的维持时间各有多少，理论结论是不同地域的降水的维持时间服从负指数分布，即多数地区维持时间短少数地区维持时间长^[19]。表中的第4个问题是指单点的一次降水过程的雨量的大小的概率分布。在当地的气候不变和同一的季节里，可以假设降水过程的平均降水量是不变的和季节总降水量是不变的，再利用统计力学思路可以推出过程雨量为不同值的概率分布也应当是负指数分布。文献^[1、9]对此有资料证验。

第5个问题是研究单点的一场雨持续了不同长度（时间）的概率的大小。文献[10]中用日本的资料对此有验证。第7个问题是分析一个地方的两场雨之间的无雨期（干旱期）的长度与出现概率的关系，它也被证明是负指数函数^[11]。这些都可以用统计力学思路配合类似的比较合理的假设从理论上给出负指数型的分布函数。

表（9）中的8和9是气象上早已经熟悉的月年雨量的概率分布问题。过去它们都有一些统计学研究，而没有说明它为什么服从某种分布函数。现在我们明确了过程雨量应当是服从负指数分布，余下的问题是如何从过程雨量的分布推导出月年雨量的分布。文献[2、20，21，22]说明一次雨量如果是负指数分布那么N次降水过程的雨量的合计值应当服从参数为N的概率分布中的Γ（Gamma）分布。据此，如果一个月有数次降水，那么它的月雨量应当服从Γ分布。而在概率论中我们知道如果Γ分布中的参数N的值很大 ，那么Γ 分布要转化为正态分布^[23]。所以对于一年降水超过30次的地方，其年雨量转为正态分布也是当然的事。所以雨量服从Γ分布和正态分布的问题是过程雨量服从负指数分布的逻辑推论。这样我们关于雨量分布的知识就摆脱了经验统计而系统化理论化了^[24]。

表中的6和10是关于降水的两个二元分布问题。它们的分布函数不是一个变量而是两个变量。前者分析一个地方不同雨量和不同维持时间的降水的出现的二元概率^[25]，后者分析一场区域降水过程中不同雨量和不同降水历时占的面积是多少（二元）[26]。它们都是分布函数概念用于降水问题的事例。由于没有找到这个分布函数的理论（解析）公式而仅有应用实例，为节约篇幅这里就不具体介绍了。

	把统计（物理）力学中的分布函数概念和玻尔兹曼分布恰当地移植到降水问题研究中确实为表述和处理非常重要又非常困难的降水问题带来了新的出路。它引出的理论公式具有普遍的适用性。
	实践是检验真理的标准。这些成果已经用了不少实际资料做了验证。事实证明理论与实际是相符的。但是每个普遍适用的成果随时都可以用降水的观测事实进一步检验它。欢迎大家进一步验证它们。
	如何把降水统计力学中已经得到的公式化为方便的应用图表是它的实用化的一个重要环节。我们做的不够，这里介绍的也太简略。有兴趣的读者可以进一步参看有关文章和自己再设计新的图表。
	说降水统计力学公式有普适性，并不是说一个公式可以用到一切降水过程。我们仅承认公式的形状是通用于各地的，但是公式中的参数则在不同地区不同降水过程可以不同。要知道公式本身并不回答它的参数应当取什么值。理论仅告诉我们这个参数的物理含义是什么以及应当如何从具体降水过程中计算这些参数。所以我们说这个理论减少了降水问题中的未知数，但是它本身没有告诉你所有的参数值。降水统计力学把降水问题中的未知数减少了但是它并没有包揽一切。
	我们得到的分布函数几乎都是负指数型的。这与该问题中的约束条件有关。如果问题中的约束不是我们给出的这些而是另外一些（约束必需与实际过程一致才会得到与实际一致的理论公式），得到的分布函数就会是其他类型的函数。这些在熵气象学[5]中有很多的事例。

--全文完—